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1、Hydrodynamic Instability,通常把未受扰动前系统的状态称为平衡态(大气中平衡态多指按一定方式分布的基本流动)。 扰动使运动离开平衡位置后仍回到它原有的平衡位置,就说平衡态是稳定的;反之,若运动趋向于达到一个新的位置,平衡态就是不稳定的。 大气中许多充分发展的有限振幅波动往往是小振幅波不稳定发展的结果,看成是基本状态(层结、基本气流等)对于小扰动的不稳定性。小扰动随时间增强,称基本状态是不稳定的,有时也说波是不稳定的。 流体运动稳定性研究的方法有正交模方法(normal mode approach)和整体方法(global approach),后者包括能量法和Liapuno
2、v直接方法。 以下先用气块法求解惯性稳定度和层结稳定度的判据。,1. Inertial stability 假定大气是正压的,背景场位势高度满足地转平衡关系:,运动方程则为:,(8.1),(8.2),设初始时刻在y=y0处有一随基本流移动的气块。假定气块在与基本气流垂直的方向上的位移为y,则气块的速度通过积分(8.1)得到: (8.3) 相应在y0+y的基本流场风速为 (8.4),代入(8.2)式可得,于是有 (8.5) 其中定义了绝对动量(absolute momentum): (8.5)式的解取决于M/y的符号,所以,我们更熟悉的写法是: (8.6) 因为fug/y就是基本流的绝对涡度。观
3、测表明,天气尺度的绝对涡度几乎总为正,所以大尺度运动一般来说是惯性稳定的;惯性不稳定一般出现在急流切变区域或低纬区域。负的绝对涡度在任意大范围内的出现将立刻引起惯性不稳定运动,它会使流体发生侧向混合,减小切变直到绝对涡度变正为止。,2. STATIC STABILITY 由于 如果d说明随高度增大,这样的层结就是静力稳定的(statically stable),或称做稳定层结(stably stratified)。气块在稳定层结内平衡位置附近的绝热振荡称之为浮力振荡(buoyancy oscillations)。考虑气块在垂直方向发生一个不引起环境扰动的位移z,则可知,根据气块法的假定,再利用
4、状态方程,便有: 假定气块起始高度z=0处位温为0,在z处环境位温为: 绝热过程中位温守恒,即气块的位温(z)= 0。上式即为,层结稳定度判据,3. Symmetric Instability,正交模方法,只有当ci不为零时,波的振幅才可能随时间增长出现不稳定,此为不稳定出现的必要条件。kci称之为不稳定增长率。,BAROTROPIC INSTABILITY 在正压涡度方程 (8.7) 中令,代入(8.7)式,得,(8.8),令 (8.9) 其中,=r+ii 为y的复函数。将(8.9)代入(8.8),得,(8.10) 通常假定扰动运动限制在y = L的纬向通道内,于是(8.10)的边界条件可取
5、为: (y)=0 at y=L (8.11) 已知(y)的分布,只对相速c的某些值才能求出(8.10)满足(8.11)的解。也就是只有当相速c是一个有正虚部的复数时,扰动振幅将随时间指数增长。,将(8.10)除以(-c),便有 (8.12),令,把方程(8.12)分为实部和虚部: (8.13) (8.14),(8.13)式乘以i,(8.14)式乘以r,然后相减 注意到 上式可重写为: (8.15),将(8.15)对y积分,并利用边界条件 i=r=0 at y=L,不稳定扰动必须存在i0(即ci0)。因为|20在域内处处成立,只有当d2/dy2在LyL内改变符号时,(8.16)式才能满足不稳定波
6、的(必要)条件。即郭晓岚(H. L. Kuo)定理:,(8.16),(8.17),(8.12) 将 *乘以(8.12) ,再积分,由于,便有,把实部和虚部分开,得,上式因左边恒为正,于是有,即,Fjortoft定理(正压不稳定第二必要条件):,正压不稳定的必要条件就是在域内某处平均气流绝对涡度的梯度为零。下图是非洲东风急流区的绝对涡度廓线,阴影区为涡度梯度负值区,它满足正压不稳定必要条件(8.17)式。,正压不稳定性不仅由基本气流的特性水平切变所确定,而且扰动必须具有倾斜的空间结构,以致扰动速度分量之间存在一定的相关性,即基本气流与扰动的适当耦合才能决定波动的稳定性。如急流北侧的曳式波或急流南
7、侧的导式波。下面将证明这一结论 将(8.10)分为实部和虚部,得,上两式分别乘以的虚部和实部,然后相减,得:,将上式在通道内积分,得:,可以证得(参见贺海晏,1982,气象学报,40(4):409-415):,分母代表一个纬向波长上的平均波动动能。不稳定波的增长率与其本身动能成反比,增长率的符号由分子(平均动能和扰动动能的转换项)决定。 绝热无摩擦正压大气中,扰动的发展所需的能量只能来自于基本气流的动能转换。,虽然正压不稳定对非洲波提供了一个满意的发生机制,也可能在赤道太平洋地区也起作用,但必须注意到,只有在平均纬向流切变保持不稳定时,波动才能从平均流中汲取能量使正压不稳定扰动得以持续。观测表
8、明赤道扰动经常出现在没有强的侧向切变的气流中,所以在热带洋面上正压不稳定似乎不是波持续的主要能源。正压不稳定性并不是只出现在热带大气中,在正压涡度方程中科氏参数只是以的形式出现的,所以正压流在热带地区并没有特殊的意义。正压不稳定也可以出现在中纬的急流区,然而,中纬地区天气扰动起源与发展的更重要的机制是斜压不稳定。,Baroclinic Instability: Cyclogenesis 大尺度天气扰动的发展常称作cyclogenesis。这一过程可看成是迭加在不稳定纬向流场的微扰动的增幅。在增幅过程中小扰动从基流中汲取势能和(或)动能。 讨论斜压不稳定问题时,首先要给出大气的垂直结构。处理一般
9、情形下的斜压不稳定问题在数学上比较困难,本节将采用两层模式来讨论。,(8.18),(8.19),In middle latitudes baroclinic instability is the most important cyclogenetic process. In baroclinic instability it turns out, as we shall show later, that the potential energy of the basic state flow is converted to potential and kinetic energy of the
10、 perturbation. Thermal advection processes are essential to the development of synoptic systems. The barotropic and modified barotropic models do not allow temperature advection; therefore they cannot forecast the development of new systems. In fact barotropic models are really merely extrapolation
11、formulas which state that the vertical vorticity distribution at any instant is advected isobarically by the wind field.,The fact that barotropic prognoses are quite effective in predicting the evolution of midtropospheric flow for periods of up to two or three days indicates that in the short range
12、, barotropic vorticity advection is the primary mechanism governing the flow. This fact simply reflects the quasi-horizontal and quasi-nondivergent character of midlatitude synoptic scale flows. However, mere advection of the initial circulation field is clearly not satisfactory if we wish to produc
13、e forecasts which are consistently reliable. It is necessary, in addition, to predict the development of new systems.,To include thermal advection processes which are essential for baroclinic development we must use a model which involves more than one data level in the atmosphere. We must also expl
14、icitly use the thermodynamic energy equation. More than a single data level is required because to compute temperature advection we must know the thickness, which in turn requires measurement of the difference in geopotential between two levels in the vertical.,两层模式中把大气分成由编号为0, 2,和4的面隔开的两层,如下图所示。,将涡
15、度方程(8.18)写在面1、面3两个中间层上,但要先估计散度项/p在每一面上的值。将有限差分(finite difference)近似用与垂直导数项可得: p为02和24面之间的气压差,下标表示在(04)某一面上。,1、3面上的涡度方程分别为 (8.20) (8.21) 为简单起见,已假定4=0,这对于水平地表是近似成立的。,再将热力学能量方程(8.19)写在面2上,用以下差分形式估算/p: 能量方程变成 (8.22) (8.22)右边第一项是500hPa风场对250-750hPa厚度场的平流。然而,在此模式中,500hPa的流函数2不是预报值。,所以2必须由250和750hPa之间的线性内插
16、而得到: (8.23) 各变量的排列如图9.1所示。假定流函数1和3由只依赖于y的基本部分和随 x和t变化的扰动部分组成,即,(8.24),在面1和面3上的纬向风为U1和U3,于是扰动场只与经向和垂直速度场有关。把(8.24)代入(8.20)(8.22)再线性化,便得扰动方程组: (8.25) (8.26) (8.27) 这里使用了-平面近似,V2由1和3线性内插得到。,令 , , (8.28) 代入(8.25)(8.27)中得到关于振幅A,B和C的线性代数方程组: (8.29) (8.30) (8.31),在系数行列式为零时,才有非平凡解(nontrivial solutions)。因此,相
17、速c满足 可解出c的二次方程: (8.32) 推导中已经取 ,长度尺度-1称作变形半径(radius of deformation)。,或从(8.29)(8.31)消去A、B或C任意两个也可得到(8.32)。(8.32)关于相速的解为 (8.33) 其中 Um和UT分别为垂直平均纬向风和间隔2p的背景热成风,即,我们已经证明了只有相速度满足(8.33)时,(8.28)是 (8.25)(8.27)的一个解,而方程(8.33)的形式非常复杂。 如果注意到当0时,相速度存在虚部,扰动将指数增长。在详细讨论(8.33)式的一般性质之前,先考虑两个特例。 一是基流为正压,UT=0,背景流场没有热成风,此
18、时相速度为: (8.34),(8.35),它们都是方程(8.32)的解。正压基流的两层模式自由扰动有对应的实数值。相速c1就是一维正压Rossby波的频散关系。把(8.34)代入(8.29)(8.31)可求出A=B,C=0,所以扰动是正压的。另一方面,(8.35)可以解释为内斜压Rossby波的相速度。注意,c2是具有自由面的均值海洋中类似于Rossby波速的频散关系。但在两层模式中分母中用22代替了海洋中的f02/gH。两种情形中都有垂直运动伴随着Rossby波,所以静力稳定性对波速有影响。可以证明,把c2代入(8.29)(8.31)可看出1和3场的位相相差180,所以扰动是斜压的,虽然基态
19、是正压的。同时,2场超前250 hPa位势场90(于是最大上升运动出现在250 hPa槽的西侧)。,垂直运动这种型可以这样理解,因c2Um0,所以扰动型相对于平均气流是向西移动的。在一个随平均风移动的坐标系中,涡度的变化仅由行星涡度平流和辐散项引起,同时,厚度的变化必须唯一地依赖于垂直运动引起的绝热加热或冷却。因此,为使系统的西移造成的厚度变化就必须在250hPa槽西有上升运动。比较(8.34)和(8.35)可以看出,斜压模的相速通常比正压模的小得多,因为,对中纬对流层平均环境中而言,2210-12m-2,它和纬向波长为4500km的波数k的平方相当。,第二种特殊情形就是假定=0。它相当于实验
20、室中的情形,有上下边界限制、在水平面上旋转的流体,其重力和旋转矢量处处平行。在此情形下 (8.36) 对纬向波数满足 的波动,(8.36)有虚部。因此,对所有超过临界波长 的波都将发展。从的定义可知, 对典型的对流层来说,(2)1/2210-3N-1m3s-1。因此,当p=500 hPa,f0=10-4s-1时,Lc3000km。,从公式还可以看出,斜压不稳定临界波长随静力稳定度而增加。对于短波。静力稳定度增加斜压稳定性的作用定性的理解为:对一正弦扰动,相对涡度以及其涵差平流都随波数的平方而增加,涵差涡度平流的存在会产生二级垂直环流。 所以对一有固定振幅的位势扰动,和它相伴的垂直环流相对强度一
21、定随扰动波长的减小而增强。由于静力稳定性限制垂直位移,最短的波将趋稳定。同时使我们感兴趣的是,=0时不稳定的判据不依赖于基态热成风 UT.的大小,所有波长大于Lc的波即使在很小的垂直切变条件下都是不稳定的。然而,扰动的增长率却依赖于UT。,从(8.28)知指数增长率=kci,在此情形下 (8.37) 所以增长率随平均热成风线性增长。 回到(8.33)式各项都全的一般情形,稳定度判据的最容易理解方式就是计算所谓的中性曲线(neutral curve),它表示了=0时UT和k的关联,此时流动是边缘稳定的(marginally stable)。从(8.33)知,条件=0意味着 (8.38),这种UT
22、和k之间复杂的关系可通过(8.38)式对k4/24求解来显示,即 在图9.2中横坐标为无量纲量k2/22,,它是纬向波长的一个度量;纵坐标是无量纲参数2UT/,,它正比于热成风。在UT-k平面图上中性线就是稳定区和不稳定区的分界线。可清楚的看出,效应使流动趋于稳定,因为此时不稳定根存在的条件为,另外,对不稳定增长,UT的极小值强烈依赖于k。因此,效应使波谱中最长一端(k0)的波受到最强地稳定作用。,小于临界波长的波总是稳定的。这种和效应相联系的长波的稳定性作用是由快速西传的长波(即Rossby波传播)造成的,只有模式中包含效应时才出现。可以证明,斜压不稳定波的传播速度总是在平均纬向风速的极大值
23、和极小值之间。因此,对我们的两层模式,在中纬度不稳定波的通常情形是U1U30,U3crU1。对长波和弱切变基流有crU3 的解,不稳定增长不会出现。,将(8.38)对k求导,然后令dUT/dk=0,当 时不稳定波可能存在的UT有极小值,这个波数对应着最大不稳定性(maximum instability.)波。观测到的扰动波数似乎应该接近这个最大不稳定性波数,因为如果UT从零逐渐增大,波数为k=21/4的扰动首先变得不稳定。那些波动就会增幅,在此过程中从平均热成风中吸收能量,反过来使UT减小,使流动趋于稳定。在标准静力稳定度条件下,最大不稳定性波长大约是4000 km,接近于中纬度天气系统的平均
24、波长。,另外,此波长的边缘稳定度只要求热成风为UT4ms-1,意味着250和750 hPa之间的切变为8ms-1。中纬度平均纬向流通常都大于这一切变量,所以,观测到的中纬天气系统的变化和这种系统起源于基流斜压不稳定的微扰的假设是一致的。 当然,在实际大气中,还有其它因素可能影响天气系统的发展,如急流区的侧切变不稳定、有限振幅扰动的非线性相互作用、以及潜热的释放。然而,观测研究、实验室模拟和数值模式的结果都表明斜压不稳定是中纬度天气尺度波动发展的主要机制。,VERTICAL MOTION IN BAROCLINICALLY UNSTABLE WAVES 两层模式来自于准地转系统的方程组,强迫的垂
25、直运动应符合大气同时满足两个限制的物理机制。这一小节里将验证它的正确性,并证明两层模式的简化有助于阐明辐散二级环流的某些方面的特征。 准地转运动要求大气运动同时满足涡度变化是准地转的,温度变化是准静力平衡的这两个限制条件。于是涡度和温度都正比于位势场的导数。这就要求垂直运动场必须随时调整以使散度场维持涡度变化的准地转性、垂直运动场保持温度变化的准静力平衡性。这些准地转模式的特性在两层模式中得到非常清楚地揭示。,(8.29) (8.30) (8.31) 由(8.29-8.31)消去C,可得: (8.39),(8.40),于是 (8.41) 若令 (8.42) 及 (8.43)则应有: 再根据(8
26、.33)可求得,代入(8.28)式,可得: 于是可看出位势场的垂直结构:高层位势场波动的振幅大于低层位势场;高空位势扰动的位相落后于低层,即斜压不稳定大气长波的槽、脊线是随高度向西倾斜的。,令: 将上式实部和虚部分离,可知:,500hPa上扰动温度可表示为: 令:,则,即 于是: 因此,平均温度槽(脊)落后于平均高度槽(脊)。,于是有:,平均层上垂直运动落后于温度扰动/2以上,二者近于反位相,即冷空气下沉,暖空气上升,有利于扰动有效位能向扰动动能的转换,即有利于波的不稳定发展。,图9.3,如果对(8.27)求x的二阶导数,利用(8.25)和(8.26)消去时间导数项,便可得到一个线性化模式的o
27、mega方程。为简单起见,忽略效应,最后可得 (8.44) (8.44)式右边第一项是由(垂直)平均背景风平流的扰动厚度的Laplace,第二项正比于垂直平均扰动经向风平流的背景厚度场的Laplace。最后一项是背景风场平流的扰动涡度的涵差。,在此模式中似乎三个物理过程各自强迫垂直运动。然而第一、三项可合并为和第二项相同的一项。于是(8.44)式变成 (8.45) 注意到 从地转关系,由(8.40)可得 所以,线性化两层模式在=0时,垂直运动的净强迫项正比于垂直平均扰动经向风平流的背景温度场。上式的另一种形式为: 其中 于是有Sutcliffe发展理论(development formula):,它说明垂直运动由背景热成风对垂直平均扰动涡度的平流所强迫,其过程可总结如下: (a) 冷(暖)平流强迫下沉(上升)运动,或 (b) 热成风对涡度的负(正)平流强迫出下沉(上升)运动。 图9.3的下半部表示了对中纬度常见的情形下(UT0) 一个发展的斜压波,在两层模式里位势场和二级环流散度场之间的位相关系。由于各层之间使用了线性内插,所以槽、脊线都是随高度向西倾斜的直线。,作业 P295,1-9;13,
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