北工大大学物理期末试题.ppt
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1、 掌握质点运动函数的物理意义; 掌握运动函数速度加速度; 掌握加速度速度运动函数; 掌握曲线运动法向加速度、切向加 速度、总加速度的计算. 第一章 质点运动学 1 第一章 质点运动学 知识要点 1. 运动的描述 两类问题: (1)(求导) (2)(积分) 2 2. 圆周运动: S = R v = dS/dt = R at= dv/dt = R an= v2/R = R2 例1 质点的运动函数为 x = 3+5t+6t2t3 (SI), 则t=0时,速度v0=; 加速 度为零时,速度v=. 解: v0=5 m/s v=17 m/s t=2s 加速度为零时,速度值是否极大?思考 v=dx/dt =
2、 5+12t3t2 a=dv/dt=126t 令 = 0 3 例2 求:在任意位置x处,船的速度和加速度 解: 且 设在任意位置x处,绳长为l O X 则有 4 于是 船作何种运动?思考 5 例3:路灯下行人以速度 v向右行走,求其头 顶的影子M沿地面移动的速度vM。 例4:距河岸(看成直线)500m处有一静止的 船,船上的探照灯以转速n=1r/min转动。 当光束与岸边成60角时,光束沿岸边移动 的速度v为多大?答案:69.8m/s6 例5质点做一维运动,其速度与时间的 关系满足v(t)=cos(t)(SI),求其由0至 1s时刻所经过的位移。 解: 7 证: 例7电艇在关机后,有dv/dt
3、=kv2(k为常 量). 试证:电艇此后行驶距离x时的 速度为 , 其中v0是电艇关机 时的速度. 8 思考关机后行驶x距离所需要的时间? 提示 9 例8质点沿半径为0.1m的圆周运动,其 角位置=2+4t2 (SI),则t=2s时, an=,at=. 解: 思路一 (t) (t) at=R 思路二 (t) S(t) at(t) at 25.6 m/s20.8 m/s2 何种圆周运动?思考 (t) an=R2 v(t) v an=v2/R 10 解: 例9 物体作斜抛运动如图,在A点处速度的 大小为v,其方向与水平方向夹角成30. 则 物体在A点处的切向加速度at=, 轨道的曲率半径=. A
4、30 轨道最高点处的曲率半径?思考11 11. 质点运动函数为x=6tt2(SI),则在t由0 至4s的时间间隔内,质点的位移大小为 ,质点走过的路程为. (1) (2) 令v=0, 得t=3s 解: S=x(3)x(0)+x(4)x(3) 何种运动?思考 x=x(4)x(0) =8m v=dx/dt =62t 折返时刻 =10m 12 12 已知质点位矢的表示式为 (a、b为常量),则该质点作(A)匀速直线运 动.(B)变速直线运动.(C)抛物线运动. (D)一 般曲线运动. 解: (B) 的大小随时间变化,但方向不变. 式中幂次改变,结果?思考 13 13. 质点在XOY平面上运动,加速度
5、 ,初速度 ,则质点任意时 刻的速度 . 解: 思考若质点初位矢 , 则任意时刻位矢? 14 14.质点作半径为R的圆周运动,其速率v=ct2 (c为常量),则从t=0到t时刻,质点走过 的路程S(t)=. 解: t时刻的加速度大小?思考 15 15.一质点作曲线运动,其速率与路程的关 系为 v =1+S2(SI),则其切向加速度可 用S表示为at=. 解: 设t=0时, S=0, 则S(t)=? V(t)=?思考 16 第二章 运动与力 o掌握应用牛顿运动定律解题的方法 受力分析; 根据F=ma列方程; 解方程 17 牛顿运动定律 (仅在惯性系中成立) 惯性系 SI单位和量纲 第二章 运动与
6、力 知识要点 惯性质量 在经典力学中,力与参考系无关 基本量 导出量 量纲 18 基本的自然力 常见的几种力 重力、弹性力、摩擦力、流体阻力 万有引力、电磁力、强力、弱力 5*.惯性系与非惯性系;惯性力 6.应用牛顿运动定律解题 19 例1 在t=0时刻,质量为m的质点静止下落 ,若空气阻力f = kv,求质点在任意时 刻的速度。 解:根据牛顿第二定律得: 思考 若初位矢为0,求任意时刻的位矢? 20 解:利用上一步求出的速度v(t) 思考 若f = kv2,求任意时刻的速度。 21 例2 一质量为m,长为l均匀分布的绳子从 光滑桌面滑下,求离开桌面时的速度。设开 始时下垂部分长为l0 . 解
7、:设任意时刻下垂部分为y,根据牛II律 思考 其它方法? 若桌子有摩擦力f =N,结果? 22 例3一质量为m的珠子系在线的一端,线的 另一端固定,线长l. 先拉动珠子使线保持水 平静止,然后松手使珠子下落,求线摆下角 时这个珠子的的速率和线的张力。 解: 任取摆角为时,在 切向应用牛II律得: 23 珠子摆至角时,在法向应用牛II律得: 24 例4 质量为m的质点沿X轴正方向运动 ,已知质点速度v与位置坐标x的函数关 系为v=kx2(k为常量),求:质点受力F与 位置坐标x的函数关系 解: 思考 若初始时刻:x=0, x0, x0),试求:船从开始运动 到停止所走过的距离. 有 船砂袋系统:
8、 39 由牛顿第二定律 : 思考 40 例6 地球质量ME = 5.981024 kg,月球质量 MM = 7.351022 kg,他们的中心距离l = 3.84105 km,求地-月系统的质心位置。 解: x o l 以地心和月球中心的连线为x轴,以地 心为坐标原点。 41 例7一段均匀铁丝弯成半圆形,其半径 为R,求此半圆形铁丝的质心。 解: x y d dl 建立如图的坐标系 ,根据对称性知质 心位于y轴上。 思考 均匀半圆盘,半球的质心位置? 42 均匀半圆盘质心位置计算: X Y 由对称性可知,质心位置位于Y 轴,因此只考虑质心的Y坐标。 43 质量为m1和m2的两个小孩,在光滑水
9、平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静 止,相距为l。问他们将在何处相遇? 例8 解: 如图所示建立水平坐标系. m2m1 x10x20 X o 根据质心运动定理,运动过程中质 心保持静止。所以最后两小孩在质 心相遇: 44 解: 例9 如图水平面上铺一张纸,纸 上放一个均匀球,球的质量 M=0.5 kg,将纸向右拉有摩擦力 f=0.1 N作用于球上,求该球的球心加速度ac 及静止开始的2s的时间内球心相对于桌面移 动的距离sc. 根据质心运动定理 45 例10 解: (1) 质点m = 2 kg, r = 3 m, v=4m/s, 又F = 2N, = =30,则质点对O点的角 动量为,力 对O点
10、的力矩为. 方向:沿Z轴正向 大小: OX Y 46 (2) 方向:沿Z轴正向 大小: 47 例11证明行星运动的开普勒第二定律: 行星对太阳的径矢在相等的时间内 扫过相等的面积. 证明: 任取时刻 t,考虑此时单位时间内径 矢扫过的面积。 48 行星绕太阳运动过程中角动量守恒 行星对太阳的径矢在相等时间内扫过的 面积相同. 注意: 掠面速度(Areal velocity) 49 例12 R L1L2 A1A2 已知地球半径为R,卫星 轨道近地点A1距离地面 L1, 远地点A2距离地面L2. 若卫 星在A1处的速率为v1,则卫 星在A2处的速率v2=. 解: 卫星对地球中心的角动量守恒. 能否
11、用牛求解?思考掠面速度? 有 50 13.质量为10kg的物体放在电梯底板上,电梯 以a=2+3t2(SI)的加速度上升,则在t=0至 t=1s内底板给物体的冲量大小为. 解: 于是 受力图: 牛: 因此 思考 物体动量增量的大小? 51 14. 质点的质量为1.0kg,运动函数为x=2t+t3 (SI),则在02s内,作用在质点上的合力 的冲量大小为 解: 52 15. 如图,光滑水平面上有3个相同的匀质光 滑小球,其中球2、3静止,球1初速度大小为 v0. 设小球间将发生的碰撞是弹性的,求碰撞 后三小球速度的大小. 1 2 3 v0 解:碰撞中,球1与球2、3间作用力的方向 分别沿1、2连
12、线和1、3连线方向,因此 碰撞后三球速度方向如下图所示. 53 由对称性知,碰撞后球2、3的速度大小 相等,记之为v,又设碰撞后球1的速度 大小为v1 . 取水平向右为正方向。 v1 v v 能量守恒: 动量守恒: 54 由得: 思考 若开始时还有一个静止的相同小球4如 图,则最终各球的速度如何? 14 2 3 v0 55 16. OX Y b A如图,在t=0时刻将质量为m 的质点由A处静止释放,则在 任意时刻t,质点所受的对原 点O的力矩为,质点对 原点O的角动量为. 解:力矩的大小:mgb, 方向: 角动量大小:mgtb, 方向: 思考 若质点初速为 ,结果? 56 17.质量为m的质点
13、的运动函数为 其中a、b、皆为常量, 则在任意时刻 t , 该质点对原点的角动量 =. 解: 思考 中不含 t ,意味着什么? 57 18. 如图, 小球在光滑桌面上作匀 速率圆周运动,速率为v0, 圆周半径为R. 现将绳缓慢往 下拉, 则小球速率v与下拉距 离x之间的函数关系为. 解:在下拉过程中,小球对桌面小孔的角动 量守恒. 思考 小球能被拉到小孔处吗? 掌握功的概念与变力做功的计算; 掌握保守力及势能的概念; 掌握引力势能、弹性势能的表达式; 掌握利用机械能守恒定律求解问题; 第四章 功和能 58 功 第四章 知识要点 恒力情形: 变力情形: 一维变力: 二维变力: 59 质点的动能定
14、理 质点系的动能定理 一对力的功 特点:功的量值不依赖于坐标系的选择 保守力 做功与相对路径形状无关的一对力 60 势能 常见保守力:弹性力, 万有引力,库仑力等. 常见非保守力(耗散力):摩擦力 定义:保守力的功等于系统势能的减少 令Epc=0, 则Epa=Aac Epa(新,d为零点)=Epa(旧)-Epd(旧) 改令Epd=0, 则有 61 弹性势能 重力势能 (h=0处Ep=0) 常见势能 (弹簧原长处(x=0)Ep=0) ox X 万有引力势能 (Ep=0) 62 功能原理: 机械能守恒定律 对于质点系,若 则 63 64 例1 解: 质点只在力 作用下沿X轴 正方向运动,则从x=1
15、m运动到x=2m的 过程中,力 做的功A=. 65 例2 X Y 如图,质点沿圆周运动,作 用力 (k为 常量),则从原点O运动到 A(0,2R)的过程中,力 做 的功为. 解: 思考该力的功与路径形状是否有关? 66 例3质量为1kg的物体,t=0时刻在坐标原点 处从静止出发沿X轴运动,物体所受合 力为 ,则在x=1m处,物体 速率v =. 由动能定理: 解: 思考 在x=0至x=1m过程中, 的冲量? 67 例4质量为m的质点在指向圆心的力F= k/r2 作用下作半径为r的圆周运动, 若取Ep=0,则系统的机械能E=. 解:由牛顿第二定律 思考 力F与万有引力和库仑力有何联系? 68 例5
16、两质点的质量均为m,开始时两者静 止,距离为a. 在万有引力作用下,两 者距离变为b. 在此过程中,万有引力 做的功A=. 解: 思考 两者距离为b时的速率? 69 质点质量为m, 距地心为r,若选r=4R(R 为地球半径)处为势能零点,则质点位于 r=2R处时,它与地球(质量为M)所组成的 系统的势能为. 解: 6. 用万有引力的线积分计算?思考 70 7. 如图,质量为m的卫星绕地球作椭圆运动 ,A、B两点距地心分别为r1、r2. 设地球 质量为M,则卫星在A、B两点的动能之 差EkB-EkA=. r1 AB r2 卫地系统机械能守恒.解: 71 (1) 能否求出vA、vB?思考 (3)
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