地图的数学基础najin.ppt
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1、第二章 地图的数学基础,第一节 地球椭球体与大地控制 第二节 地图比例尺 第三节 地图投影概述 第四节 常用地图投影 第五节 地图投影的判断和选择,第一节 地球椭球体与大地控制,一、地球椭球体,地球的自然表面是一个起伏不平,十分不规则的表面,大地水准面,为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面,人们设想当海洋静止时,平均海水面穿过大陆和岛屿,形成一个闭合的曲面,该面上的各点与重力方向(铅垂线)成正交,这就是大地水准面,地球椭球体,假想一个扁率极小的椭圆,绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体,地球椭球体三要素: 长半径 a 短半径 b 扁 率 f,地球自然表面、大地水准面、 地
2、球椭球体三者关系,由于推算的年代、使用的方法以及测定地区的不同,地球椭球体的数据并不一致,近一个世纪来,世界上推出了几十种地球椭球体数据。,常用椭球体数据,二、大地控制,大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置,位置,平面位置(经度和纬度),高度(高程),(1)地理坐标系,地理坐标系是指用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中,对于地理坐标系统中的经纬度有三种描述:即天文经纬度(铅垂线)、大地经纬度(垂线)和地心经纬度。,(2)我国的大地坐标系统,在一个国家或地区,不同时期也可能采用不同的坐标系。我国目前沿用了两种坐标系,即1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系。,陕
3、西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。,ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f =1/298.257,(3)高程系,高程控制网的建立,必须规定一个统一的高程基准面。 我国高程系:“1956年黄海高程系”“1985年国家高程基准 ”,位于青岛的我国水准原点,(4)大地控制网,大地控制网,平面控制网,高程控制网,三、全球定位系统,1973年美国国防部便开始组织海陆空三军,共同研究建立新一代卫星导航系统,即“授时与测距导航系统/全球定位系统,简称为全球定位系统(GPS)。,GPS卫星在空间上的这种配置,使用户在地球
4、上任何地点、任何时间至少可以同时接收到4颗卫星的定位数据,这是保证GPS定位精度的基本条件。,空间卫星星座,由均匀分布在6个等间距轨道上的24颗卫星组成。轨道之间的夹角为60,轨道平均高度为20183km,卫星运行周期为11小时58分。,地面控制部分由一个主控站,5 个全球监测站和3 个地面控制站组成。,用户接收部分的基本设备是GPS信号接收机,其作用是接收、跟踪、变换和测量GPS卫星所发射GPS信号,以达到导航和定位的目的。,GPS用户终端,第二节 地图比例尺,一、地图比例尺的概念,编制地图时,需要把地球或制图区域按照一定的比率缩小表示,这种缩小的比率就是地图的比例尺。因此,比例尺代表的是地
5、球或制图区域缩小的程度。,比例尺=图上距离/实地距离,可表达为(d为图上距离,D为实地距离),当制图区域相当大,制图时对景物的缩小比率也相当大时,地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化,在这种地图上所注明的比例尺的含意,其实质是在进行地图投影时,对地球半径缩小的比率,通常称之为地图主比例尺。地图经过投影后,只有在没有变形的点或线上,才可以用主比例尺进行量算。,二、地图比例尺的形式,三、地图比例尺的作用,比例尺决定着地图图形大小 比例尺反映地图的量测精度 比例尺决定着地图内容的详细程度,第三节 地图投影概述,一、地图投影的概念,为什么要进行地图投影,地球椭球体表面是个曲面,而地图通常是二维平面
6、,因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而,从几何意义上来说,球面是不可展平的曲面。要把它展成平面,势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的,所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。,地图投影的定义,地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为:,X=f1( , ),Y=f2( , ),二、地图投影的基本方法,数学解析法,几何透视法,数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系,通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。,几何透视法是利用透视的关系,将地球体面上的点投影到投影面(借
7、助的几何面)上的一种投影方法。,三、地图投影的变形,地图投影的方法很多,但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状 :,(1)地图投影变形的概念,地球仪上的经纬线的长度的特点:,第一,纬线长度不等 第二,在同一条纬线上,经差相同的 纬线弧长相等 第三,所有经线长度相等,地球仪上的经纬线网格面积的特点:,第一,在同一纬度带内,经差相同的 球面网格面积相等 第二,在同一经度带内,纬度愈高, 网格面积愈小,地球仪上的经纬线角度的特点:,在上面图(b、c)上,只有中央经线和各纬线相交成直角,其余的经线和纬线均不呈直角相交,而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交,这表明地
8、图上有角度变形,地图投影变形是球面转化成平面的必然结果,没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲,不存在这种变形,就必然存在那种变形。但制图时可做到:在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。,(2)变形椭圆,指地球椭球体面上的一个微小圆,投影到地图平面上后变成的椭圆,特殊情况下为圆。可证明球面上的一个微小圆,投影到平面上之后是个椭圆。,在分析地图投影时,可借助对变形椭圆和微小圆的比较,说明变形的性质和大小。椭圆半径与小圆半径之比,可说明长度变形。很显然,长度变形随方向的变化而变化,其中有一个极大值,即椭圆长轴方向,一个极小值,即椭圆短轴方向。这两个方向是相互垂
9、直的,称为主方向;椭圆面积与小圆面积之比,可说明面积变形;椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较,可说明角度变形。,(3)长度比和长度变形,长度比 是投影面上一微小线段ds和椭球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为:,=ds/ds,长度比用于表示投影过程中,某一方向上长度变化的情况。1,说明投影后长度拉长,1,说明投影后长度缩短了;=1,则说明特定方向上投影后长度没有变形。,注意长度比与比例尺区别:,地图上标注的比例尺是主比例尺,它表明地图投影之后地球缩小的比率; 长度比是一个变量,在地图上不同点,或同一点不同方向上,长度比不同; 在研究地图投影时,只研究特定方向上的长度比,即
10、最大长度比(a)和最小长度比(b),或经线长度比(m)和纬线长度比(n); 如果投影后,经纬线仍正交,则m=a,n=b; 若投影后,经纬线不正交,设夹角为,则有关系m2+n2=a2+b2,mnsin =ab;,由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形V就是(ds-ds)与ds之比,即长度比与1之差,用公式表示为:,V,=,_,ds,=,ds,_,ds,-,1,=,-,1,ds-ds,(4)面积比和面积变形,面积比就是投影面上一微小面积dF,与椭球体面上相应的微小面积dF之比。 所谓面积变形就是(dF-dF)与dF之比,即面积比与1之差,以VP表示面积变形。,Vp,=,_,dF,=,dF,_,
11、dF,-,1,=,-,1,p,dF-dF,(5)角度变形,投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差 a-a,称为角度变形。 可以推出最大角度变形公式为:,Sin,=,2,w,四、地图投影的分类,等角投影,按变形性质分类,等距投影,等积投影,任意投影,投 影 构 成 方 法,几何投影,条件投影,方位投影,圆柱投影,圆锥投影,伪方位投影,伪圆柱投影,伪圆锥投影,多圆锥投影,方位投影,圆柱投影,圆锥投影,几何投影,条件投影,第四节 常用地图投影,一、世界地图常用投影,(1)墨卡托投影(Mercator Projection),墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影设想与地轴方向
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