第1次课条件概率.ppt
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1、电子课件,史 册 主讲,概率论与数理统计,随机事件 随机事件的概率 条件概率 独立性,第一章 随机事件的概率,蒲丰投针试验,例 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率.,解,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,几何概率中的悖论,几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用,十
2、九世纪时,不少人相信,只要找到适当的等可能性描述,就可以给概率问题以唯一的解答,然而有人却构造出这样的例子,它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案,下面就是一个著名的例子。,2.乘法公式,1. 条件概率,3.全概率公式与贝叶斯公式,.3 条件概率,一、条件概率,引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表,从这批产品中随意地取一件,则这件产品为次品的概率为?,现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的,那么这件次品的概率又是多少?由于500件中有25件次品,所以取出的这件产品为次品的概率为 记事件A:“取出的产品是甲厂生产的”,事件B:“取出的产品为次品”,则本例是在事件A发生的条件
3、下,求事件B发生的概率,这就是所谓的条件概率,记为P(B|A),条件概率的定义,例 一个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多少? (假定生男生女是等可能的),由题意,样本空间为,(1),表示事件“其中有一个是女孩”,,表示事件“两个都是女孩”,则有,由于事件已经发生,所以这时试验的所有可能结果只有三种,而事件包含的基本事件只占其中的一种, 所以有,解,在这个例子中,若不知道事件已经发生的信息,那么事件发生的概率为,其原因在于事件 的发生改变了样本空间,使它由原来的 缩减为 ,而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的,这里,(2),关系式(2)不仅对上述特
4、例成立,对一般的古典概型和几何概型问题,也可以证明它是成立的,上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W中考虑,显然有,从而,即,在几何概率中,若以m(A),m(B),m(AB),m(S)分别记事件A,B,AB,S所对应点集的测度,且m(B)0,则,条件概率的定义,设A、B是两个事件,且P(A)0,则称,若事件A已发生, 则为使 B也发生 , 试验结果必须是既在 A 中又在B中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 , 于是 有上式.,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发
5、生的条件概率.,条件概率满足概率定义中的三个基本性质,非负性:对于任何事件B,有P(BA)0; 规范性:对于必然事件S,有P(SA)=1; 可列可加性:设B1 ,B2 , 两两互不相容的事件,即对于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,则有 可见,条件概率也是概率,前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如: 特别当A=S时,条件概率化为无条件概率。,条件概率的计算,2)从加入条件后改变了的情况去算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B)=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例 一袋中有10 个球,其中3个黑球,7个白球,依次
6、从袋中不放回取两球。 (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率。,例 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知,某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718,存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人,能够活到51岁的概率是多少?,解,记,因此,要求,显然,因为,从而,可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下,该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。,二、乘法公式,由条件概率的定义:,若已知P(B), P(A|B)
7、时, 可以反求P(AB).,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (1),而 P(AB)=P(BA),将A、B的位置对调,有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,乘法公式,当P(A1A2An-1)0时,有 P (A1A2An)- =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),推广到多个事件的乘法公式:,例 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率 。,解,记,要求,显然,因此
8、,例 已知某厂家的一批产品共100件,其中有5件废品。为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品,则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率,解,则,从而,设,由乘法定理,于是,由题意,有,解,书后第6题,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,注:当 a0 时,由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.,一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也
9、没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”,后抽比先抽的确实吃亏吗?,到底谁说的对呢?让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后,你们一个一个 按次序来,谁抽到入场券的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然,P(A1)=1/5,P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说,,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券,第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券,
10、必须第1个人未抽到,,由于,由乘法公式,计算得: P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理,第3个人要抽到“入场券”,必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说,,因为可以验证,条件概率满足概率定义中的三个条件,所以它是概率。 条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(AB)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。,条件概率P(A
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