第4章控制系统的分析方法.ppt
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1、2019/6/17,1,CH4、控制系统的分析方法,早期的控制系统分析过程复杂而耗时,如想得到一个系统的冲激响应曲线,首先需要编写一个求解微分方程的子程序,然后将已经获得的系统模型输入计算机,通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据,然后再编写一个绘图程序,将数据绘制成可供工程分析的响应曲线。 MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现,给控制系统分析与设计带来很多方便。 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。,2019/6/17,2,第一节 控制系统的稳定性分析,系统特征方程的一般形式为 对于连续时间系统,如果闭环极点全部在S平面左半平面, 则系统
2、是稳定的;否则系统是不稳定的。 对于离散时间系统,如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内, 则系统是稳定的。 若连续时间系统的全部零点都位于S左半平面;或若离散时间系统的全部零点都位于Z平面单位圆内,则系统是最小相位系统。,一、系统稳定及最小相位系统判据,2019/6/17,3,2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数,因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。,二、系统稳定及最小相位系统的判别方法,1、间接判别(工程方法) 劳斯判据:劳斯表中第一列各值严格为正,则系统稳定,如果劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统不稳定。 胡尔维茨判据:当
3、且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时,系统稳定。即系统稳定的充要条件:,2019/6/17,4,例exp04_01.m 已知某系统的模型如右所示:,要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。,例exp04_02.m 系统模型如下所示,判断系统的稳定性,以及系统是否为最小相位系统。,2019/6/17,5,ii=find(条件式) 用来求取满足条件的向量的下标向量,以列向量表示。,例如 exp04_01.m中的条件式为real(p0),其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标,并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部大于0的极点,则会将该极点的序号返回
4、到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0,则认为找到了不稳定极点,因而给出系统不稳定的提示,若产生的ii向量的元素个数为0,则认为没有找到不稳定的极点,因而得出系统稳定的结论。,pzmap(p,z) 根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图,2019/6/17,6,第二节 控制系统的时域分析,一、时域分析的一般方法,系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来说,一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示。一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应,因此在仿真过程中,一般以某种数值算法从初态出发,逐步计算系统的响应
5、,最后绘制出系统的响应曲线,这样可分析系统的性能。 控制系统最常用的时域分析方法是,当输入信号为单位阶跃和单位冲激函数时,求出系统的输出响应,分别称为单位阶跃响应和单位冲激响应。,2019/6/17,7,对一阶系统 微分方程: 闭环传递函数: 参数:时间常数T 性能指标: 调节时间ts 超调量%,2019/6/17,8,对二阶系统 微分方程: 闭环传递函数: 其中 参数:阻尼比 无阻尼自然振荡频率n 性能指标:上升时间tr;峰值时间tp;调节时间ts; 超调量% 在MATLAB中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系统响应的函数。 求取系统单位阶跃响应:step() 求取系统的冲激响应:impu
6、lse(),2019/6/17,9,1、step()函数的用法 exp04_03.m y=step(num,den,t):其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数,t为选定的仿真时间向量,一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。 y,x,t=step(num,den):此时时间向量t由系统模型的特性自动生成, 状态变量x返回为空矩阵。 y,x,t=step(A,B,C,D,iu):其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵,iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹。,2019/6/17,10,如果
7、对具体的响应值不感兴趣,而只想绘制系统的阶跃响应曲线,可调用以下的格式: step(num,den);step(num,den,t);step(A,B,C,D,iu,t);step(A,B,C,D,iu);,线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取,其调用格式为:dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d),例exp04_04: 已知系统的开环传递函数: 求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。,2019/6/17,11,2、impulse()函数的用法 求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。 y=impulse(num,den,t); y,
8、x,t=impulse(num,den); y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den); impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu); impulse(A,B,C,D,iu,t),2019/6/17,12,例exp04_05.m,例exp04_06.m,例exp04_07.m,2019/6/17,13,仿真时间t的选择: 对于典型二阶系统根据其调节时间的估算公式 可以确定。 对于高阶系统往往其响应时间很难估计,一般采用试探的方法,把t选大一些,看看响应曲线的结果,最后再确定其合适的仿真时间。 一般来说,先不指定仿真
9、时间,由MATLAB自己确定,然后根据结果,最后确定合适的仿真时间。 在指定仿真时间时,步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度,一般不易取太大。,例exp04_08.m,2019/6/17,14,二、常用时域分析函数,时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为,系统特征如:上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能从时间响应上反映出来。MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外,还提供了其它对控制系统进行时域分析的函数,如: covar:连续系统对白噪声的方差响应 initial:连续系统的零输入响应 lsim:连续系统对任意输入的响应 对于离散系统只需在连续系统
10、对应函数前加d就可以,如dstep,dimpulse等。它们的调用格式与step、impulse类似。,2019/6/17,15,三、时域分析应用举例,MATLAB的step()和impulse()函数本身可以处理多输入多输出的情况,因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。,例exp04_09,2019/6/17,16,例exp04_10,d = 16.7331 e = 0.0771,d=wn2 e=(2*z*wn-1)/d,2019/6/17,17,例exp04_11.m,例exp04_12_1.m,2019/6/17,18,exp04_12_2.m 含有零点的二阶连续
11、系统传递函数为 设其固有频率n=1,阻尼系数=0.4,在时间常数Tm=0.5,1,2时,分别画出其脉冲响应函数曲线。将系统在采样间隔为Ts=0.1的条件下离散化,并做脉冲响应曲线。,结果分析: 从图中可见,所加零点越小,即时间常数Tm越大,则阶跃响应的超调加大,上升时间减小,系统的跟踪速度加快。,2019/6/17,19,exp04_12_3.m 含有附加实极点1/Tp的二阶连续系统传递函数为 设固有频率n=1,阻尼系数=0.4,在时间常数Tp=0.5,1,2时,分别画出其阶跃响应函数曲线和极点分布。,结果分析: 对应于Tp=0.2,1,2,系统输出方差分别为p=0.5303 0.4018 0
12、.2462。可见,附加的极点越小,即时间常数Tp越大,阶跃响应的超调加大,上升时间加大,系统的跟踪速度变慢,对噪声的抑制能力增大。可以近似认为,系统的响应主要取决于虚部最小的极点。,2019/6/17,20,第三节 控制系统的频域分析,频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应,从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。 频率法所研究的问题,仍然是自动控制系统控制过程的稳定性、快速性及稳态精度等性能。 根据系统频率响应特性来研究系统稳定性的优点是: (1)不需求解特征方程的根; (2)频率响应实验简便又准确。,一、频域分析的一般方法,2019/6/17,21,频域性能指标
13、峰值Am 是幅频特性A()的最大值。峰值大则表明系统平稳性差。 带宽b 是幅频特性A()的数值衰减到0.707A(0)时所对应的频率。b高表明快速性好。 相频宽b是()等于时所对应的频率。b高也反应系统快速性好。 A(0)是指零频率(0)时的振幅比。A(0)的数值与1相差之大小,反映系统的稳态精度,A(0)越接近于1,系统的精度越高。,频率特性是指系统在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系,记为:,2019/6/17,22,采用频域分析法可直观地表达出系统的频率特性,分析方法比较简单,物理概念比较明确,对于改善系统稳定性和暂态性能等问题,都可以
14、从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。 通常将频率特性用曲线的形式进行表示,包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线,MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。 求取系统对数频率特性图(波特图):bode() 求取系统奈奎斯特图(幅相曲线图或极坐标图):nyquist(),2019/6/17,23,1、对数频率特性图(波特图),对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率w,采用对数分度,单位为弧度/秒;纵坐标均匀分度,分别为幅值函数20lgA(w),以dB表示;相角,以度表示。 MATLAB提供了函数bode()来绘制系统的波特图,其用法如下: bod
15、e(a,b,c,d):自动绘制出系统的一组Bode图,它们是针对连续状态空间系统a,b,c,d的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取,而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。,2019/6/17,24,bode(a,b,c,d,iu):可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图。 bode(num,den):可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。 bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w):可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。 当带输出变量mag,pha,w或mag,pha引用函数时,可得到系统波特图相应的幅值mag、相角pha及
16、角频率点w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位,幅值可转换为分贝单位:magdb=20log10(mag),2019/6/17,25,exp04_13.m,典型二阶系统 设自然振荡频率n=10,阻尼系数=0.2,0.6,1时的波特图,结果分析: 从图中可以看出,二阶连续系统在阻尼系数很小时,其幅频特性在转折频率处出现谐振峰值,相频特性在这个频率附近迅速下降。随着的增加,幅频特性的峰值减小,在阻尼系数=0.7后,幅频特性单调下降,相频特性的下降也趋于平缓。,exp04_14.m,2019/6/17,26,Nyquist稳定判据 系统稳定的充要条件为:当由0变化时,开环幅相特性曲线(Nyqui
17、st曲线)按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R ,等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P,否则闭环系统不稳定,闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点,则系统临界稳定。 Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹,根据开环的Nyquist曲线,可以判断闭环系统的稳定性。 乃奎斯特稳定判据,提示了系统开环幅相特性G(j)和系统闭环稳定性的本质联系。,2、奈奎斯特图(幅相频率特性),2019/6/17,27,对于频率特性函数G(jw),给出w从负无穷到正无穷的一系列数值,分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 为横坐标, Im(G(jw) 为纵
18、坐标绘制成为极坐标频率特性图。在极坐标图上能显示出系统在整个频率域的频率响应特性。 应用奈奎斯特稳定判据来检查线性系统稳定性时,可能有三种情况: 1)不包围-1+j0点,如果在右半s平面无极点,系统稳定,否则不稳定 2)反时针包围-1+j0点,如果反时针包围的次数等于在右半s平面极点数,系统稳定,否则不稳定。 3)顺时针包围-1+j0点,系统不稳定。,2019/6/17,28,MATLAB中函数nyquist()来绘制系统的极坐标图,用法如下:,nyquist(a,b,c,d):绘制出系统的一组Nyquist曲线,每条曲线相应于连续状态空间系统a,b,c,d的输入/输出组合对。其中频率范围由函
19、数自动选取,而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。 nyquist(a,b,c,d,iu):可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。,2019/6/17,29,nyquist(num,den):可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的极坐标图。 nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w):可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。 当不带返回参数时,直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图(图上用箭头表示w的变化方向,负无穷到正无穷) 。当带输出变量re,im,w引用函数时,可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量(为正的部分
20、)。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。,2019/6/17,30,exp04_15.m,已知系统开环传递函数为: G(s)=2500(2s+1)(0.025s+1)2/s2(0.1s-1)(0.2s-1)(0.0025s+1) 求系统的极坐标频率特性图(Nyquist曲线),结果分析: 可以看出,系统在s右半平面的极点数为2(s=10,s=5) 当由0变化时,开环幅相特性曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数为2 ,等于开环传递函数位于s右半平面的极点数,系统稳定。,2019/6/17,31,exp04_16.m,已知系统的传递函数为:G(s)=K(0.5s+
21、1)/s(s-1),求当K分别取1和3时,系统的极坐标频率特性图(Nyquist曲线),结果分析: 可以看出,系统在s右半平面的极点数为1(s=1) 当由0变化时,开环幅相特性曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数为1 ,等于开环传递函数位于s右半平面的极点数,系统稳定,否则不稳定。,2019/6/17,32,稳定裕度 稳定裕度是一个闭环稳定系统稳定程度的指标。常用的有相角稳定裕度gm和幅值稳定裕度pm。 幅值裕度gm是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量,如在-180度相频处的开环增益为g,则幅值裕度gm=1/g;若用分贝值表示幅值裕度,则gm=-20*log10(g)。类似地,相
22、角裕度pm是当开环增益为1.0时,相应的相角与180度角的和。 幅值裕度gm只是表征系统稳定程度的指标之一,它表示系统的开环传递系数增大到原来的gm倍,则系统处于临界稳定状态。相角裕度pm表示:如果系统对频率信号的相角滞后再增大pm度,则系统处于临界稳定状态。应用gm、pm这两个指标能较好地表征系统的稳定程度。,二、常用频域分析函数,2019/6/17,33,MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外,还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数,由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如:,margin:求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率 freqs:模拟滤波器特性 nich
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