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1、第六章 测量误差的基本知识,5-1 测量误差的来源及分类 5-2 衡量精度的指标 5-3 误差传播定律(简介) 5-4 等精度观测的最可靠值与精度评定 5-5 加权平均值及中误差(简介),5-1 测量误差的来源及分类,一、误差(error) 1. 定 义:观测值与其真实值(即“真值”)之间的差异。 公 式: iLiX 2. 观测误差的来源 误差来源:观测者、仪器(工具)、外界条件 观测条件观测者仪器(工具)外界条件,真误差,观测值,真 值,3. 等精度观测和不等精度观测 以观测条件来评价是否等精度观测。 4. 对测量误差的准确理解 误区:误差越小越好,甚至为零。 正确认识:将误差限制在满足测量
2、目的和要求的范围内。 5. 观测误差的分类 (1)粗差(gross error) g (2)系统误差(system error) s (3)偶然误差(accident error) a 总观测误差 g + s + a,极高精度的仪器和极为严格的方法。消耗大量的物力和人力。,5. 粗差(gross error) 特 征: 1)一种大量级的观测误差; 2)粗差包括测量过程中各种失误引起的误差; 3)含有粗差的观测值都不能使用,该观测值必须舍弃并重测。 处理方法: 1)进行必要的重复观测; 2)增加“多余”的观测约束条件; 3)严格遵守相关测量规范。,6. 系统误差(system error) 定
3、义:在一定的观测条件下进行一系列观测时,符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差。系统误差对观测成果具有累积的作用。 处理方法: 1)采取必要的观测措施; 2)找出系统误差的原因和规律,对观测值进行系统误差的公式改正。,7. 偶然误差(accident error) (1)定 义:在一定的观测条件下进行一系列观测,如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性;即从表面现象看,误差的大小和符号没有规律性。 (2)研究偶然误差的重要性, 遵守相关测量规范,粗差可以被发现并剔除;, 系统误差可以被改正;, 偶然误差却是不可避免的。,(3)偶然误差的例子分析,(4)偶然误差的统计规律,(5)偶然误差的正态分布
4、曲线,8. 标准差(standard deviation, ),标准差的大小可以反映观测精度的高低。,n ,5-2 衡量精度的指标,一、精度 1. 定义 对某一个量的多次观测中,其误差分布的密集或离散的程度。 第1组:1 第2组:2,12 所以,第1组精度高,2. 关于等精度观测和不等精度观测的进一步叙述 由于精度是表征误差的特征,而观测条件又是造成误差的主要来源。 在相同的观测条件下进行的一组观测,尽管每一个观测值的真误差不一定相等,但它们都对应着同一个误差分布,即对应着同一个标准差。因此,可以称这组观测为等精度观测,所得到的观测值为等精度观测值。 如果仪器的精度不同,或观测方法不同,或外界
5、条件的变化较大,这就属于不等精度观测,所对应的观测值就是不等精度观测值。,3. 衡量精度的常用指标 (1)中误差 (mean square error) (2)相对中误差 (relative error) (3)极限误差( limit error, 或称 限差 tolerance),二、 中误差(m) 1. 计算公式 2. 例题(1) 对某个量进行两组观测,各组均为等精度观测,各组的真误差分别如下所示,请评定哪组的精度高? 第一组:-3“、+2“、-1“、0“、+4“ 第二组:+5“、-1“、0“、+1“、+2“,3. 中误差(m)与标准差()的区别,在于观测次数n上! 标准差表征了一组等精度
6、观测在n时误差分布的扩散特征,即理论上的观测精度指标;而中误差m则是一组等精度观测在n为有限次数时的观测精度指标。,4. 中误差(m)与真误差()的区别,中误差m反映的是一组观测精度的整体指标,而真误差i是描述每个观测值误差的个体指标。 在一组等精度观测中,各观测值具有相同的中误差,但各个观测值的真误差往往不等于中误差,且彼此也不一定相等,有时差别还比较大,这是由于真误差具有偶然误差特性的缘故。,5. 平均误差() 平均误差就是在一组等精度观测中,各误差绝对值的平均数。其表达式为: 式中 |误差绝对值的总和。 例题(2) 计算例题(1)的各组平均误差,并比较其精度高低。 因此,我国的有关规范均
7、统一采用中误差作为衡量精度的指标。,三、相对误差(K) 1. 相对误差的意义 2. 定 义 误差的绝对值与相应观测值D的比值。 3. 实际距离丈量中的相对真误差(相对较差),当为中误差m时,K为相对中误差,4. 为什么只有“距离”需要用相对误差K衡量,而 “角度”观测则用中误差而不用相对误差?,距离测量误差与观测长度大小有关 测角误差与角度的大小无关,四、极限误差(极限)和容许误差( 容) 1. 极限误差的意义 绝对值大于3的真误差出现的概率很小,因此可以认为 3是真误差实际出现的极限。 在等精度观测中, 2m 概率4.55 3m 概率0.27 2. 极限误差(容许误差)的设定 在实际测量中,
8、常以23倍中误差作为偶然误差的容许值,称为容许误差。即: 容 2m 容 3m,5-3 误差传播定律,一、误差传播定律 (law of error propagation) 实际测量中,有些量往往不能直接观测得到,需借助其它的观测量按照一定的函数关系间接计算得到。由于直接观测的量含有误差,因而它的函数亦必然存在误差。 各观测量的中误差与其函数的中误差之间的关系,称为误差传播定律。,二、主要关系式,三、应用讲解 例题(3) 在12000比例尺的地形图上,量得A、B两点间的距离dAB87.5mm,md0.3mm,求A、B两点间的实地距离DAB及其中误差mD。 解:DABMdAB200087.5/10
9、00175.0m 根据倍数函数的中误差计算公式,得线段AB的中误差为 mDMmd20000.3/10000.6m 最后的结果可以写成DAB175.0m0.6m。,例题(4) 对一个三角形三个内角进行观测,已观测、两内角,观测值分别为=7234125.0,5646184.0。求另一个内角的角值及其中误差m。 解:根据题意,有180。因此: 180503930 在的函数式里,180常数,而m5.0,m4.0 所以根据和差函数求中误差的公式,有: 所以,另一个内角5039306.4。,5-4 等精度观测的最可靠值与精度评定,一、算术平均值(arithmetic average) 1. 定 义 2. 算术平均值是“真值”的最或然值、最可靠值 (证明在pp159),二、观测值改正数 V (residual) 1. 定义 观测量的最或然值与观测值之差。 Vi x li 2. V的一个重要特性 V 0 在等精度观测条件下,观测值改正数的总和为零。,三、由观测值改正数V计算观测值中误差m,公式推导见书本P160-161,四、算术平均值x的中误差M,2. 公式隐含的意义 (1)算术平均值精度比观测值高; (2)增大观测次数,可以提高精度;但次数越多,精度提高幅度越小。,【习题】 pp165 (2)、(3)、(4)、(6),
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