第7章控制系统设计方法.ppt
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1、,第7章 控制系统设计方法,本章讨论的系统设计问题可以认为是系统分析的逆问题,即对于给定的受控对象模型寻找控制策略,并按照性能指标的要求解出控制器的结构与参数,构成满足性能要求的反馈控制系统。,控制系统的设计过程可以在时域进行,也可以在频域进行。,如果对象模型是以传递函数的形式给出,通常采用经典控制理论中的频率特性法或根轨迹法完成控制器的设计,即在原有系统中引入适当的环节,用以对原有系统的某些性能(如相角裕度、剪切频率、误差系数等)进行校正,使校正后的系统达到期望的性能要求。,如果对象模型是在状态空间以状态方程形式描述的,则系统的设计过程是在时域进行的,通常是采用状态反馈和极点配置的方法得到控
2、制策略,其中包括状态观测器的设计以及最优控制系统的设计等,其研究内容习惯上称为现代控制理论。,本章主要以线性时不变系统为对象讨论几种常用的设计方法,包括 串联校正、 PID控制器设计、 极点配置与状态观测器设计、 线性二次型最优控制系统设计等。,7.1 串联校正 本节讨论三种串联校正装置的频域设计方法,即相位超前、相位滞后、相位滞后超前校正装置设计。 相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性,对于系统的稳态精度影响较小; 相位滞后校正可以明显地改善系统的稳态性能,但会使动态响应过程变缓; 相位滞后超前校正则把两者的校正特性结合起来,用于动态、静态特性均要求较高的系统。,下面具体讨论三种校正装
3、置的设计与实现问题,7.1.1 相位超前校正 相位超前校正环节可以等效地由电阻电容构成的RC网络来表示。 其网络传递函数可以写为,其中,z=1/T,说明 超前校正环节具有极点 ,零点 ,由于 ,因此在s平面极点位于零点的左侧。,例7-1使用MATLAB绘制当 时的bode图和Nyquist图,T=1,,MATLAB 程序如下:,alpha0=0.1 T=1 for i=1:5 alpha(i)=i*alpha0 G(i)=tf(alpha(i)*T alpha(i),alpha(i)*T 1) end bode(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5) figure nyquist(G
4、(1),G(2),G(3),G(4),G(5),运行程序,得到结果:,由图可知: 1)最大超前角 与所对应的频率 随 的减 小而升高,并有关系式 2) 处于两个转折频率 和1/T的几何中心,即 3)超前校正环节提供的最大相位超前角约在 之间。若需要更大的超前角,可以采用多个超前环节的串联。,或,说明:由于此网络的增益为,所以在实际应用时,为保证系统的稳态性能,必须增加一个增益为的放大器,即校正网络为,例7-2 已知原系统开环传递函数为,试(1)用bode图设计超前校正装置,设计指标为: 静态速度误差系数 相角裕度,(2)用MATLAB语言绘制校正前后的bode图及单位阶跃响应。,理论分析,根据
5、 可以求得校正环节的增益,MATLAB 程序如下:,ng=400 dg=1 30 200 0 G0=tf(ng,dg) kc=5 dPm=40+10 mag,phase,w=bode(G0*kc) Mag=20*log10(mag) Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G0*kc) phi=(dPm-Pm)*pi/180 alpha=(1+sin(phi)/(1-sin(phi) Mn=-10*log10(alpha) Wcgn=spline(Mag,w,Mn),T=1/Wcgn/sqrt(alpha) Tz=alpha*T Gc=tf(Tz,1,T,1) figure(1) bode(
6、G0*kc,G0*kc*Gc); F0=feedback(G0*kc,1) F=feedback(G0*kc*Gc,1) figure(2) step(F0,F),运行程序,得到结果:,说明:运行以下语句,可以验证性能指标,margin(G0*kc*Gc),经比较看出:校正后系统的快速性得到提高,超调量有所降低,大约由原来的40%下降到29%。,例7-3 已知原系统开环传递函数为,(1)绘制原系统的bode图,标出相角裕度和幅值裕度; (2)现引入超前校正装置, 绘制校正后系统的bode图,并与原系统的bode图进行比较; (3)绘制校正前后的阶跃响应曲线并进行比较。,要求:,MATLAB 程
7、序如下:,G0=tf(100,0.04,1,0) Gm0,Pm0,Wcg0,Wcp0=margin(G0) Gc=tf(0.0262,1,0.0106,1) G=Gc*G0 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure step(T0,T),运行程序,得到结果:,Gm0 = Inf Pm0 = 28.0243 Wcg0 = Inf Wcp0 = 46.9701,Gm = Inf Pm = 47.5917 Wcg = Inf Wcp = 60.3251,%原系统,%校正后系统,从图中看出:展
8、宽了频带,增加了相角裕度,提高了系统的快速性。,从图中看出:证明了不但减小了系统的超调量,而且提高了系统的快速性。,7.1.2 相位滞后校正 相位滞后校正的等效RC网络如图所示 其网络传递函数可以写为,其中,说明,滞后校正环节具有极点 ,零点,因此在s平面上,极点位于零点的右侧,由于 ,,例7-4 设滞后校正环节的传递函数为 设:T=1;=5,10,15, 试绘制滞后校正环节的bode图和Nyquist图,MATLAB 程序如下:,beta0=5 T=1 for i=1:3 beta(i)=i*beta0 G(i)=tf(T 1,beta(i)*T 1) end figure(1) bode(
9、G(1),G(2),G(3) figure(2) nyquist(G(1),G(2),G(3),运行程序,得到结果:,说明: 最大相位滞后角所对应的频率 在转折频率 处,校正环节的幅值裕度衰减为 。,滞后校正环节对高频噪声可以有效的抑制,因此具有低通滤波器特性。,例7-5 已知原系统开环传递函数,要求:稳态误差 ,剪切频率 ,相角裕度 ,试用MATLAB语句编制滞后校正装置的设计程序,绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线。,MATLAB 程序如下:,num=10 den=1 5 0 G0=tf(num,den) wcg=2 kc=10 mag,phase,w=bode(G0*kc) magd
10、b=20*log10(mag) Gr=-spline(w,magdb(1,:),wcg) alpha=10(Gr/20) T=10/(alpha*wcg) Gc=tf(alpha*T 1,T 1) F0=feedback(G0*kc,1) F=feedback(G0*kc*Gc,1) figure(1) bode(G0*kc,G0*kc*Gc) figure(2) step(F0,F),运行程序,得到结果:,说明: 从阶跃响应曲线看出,滞后校正使系统响应速度变慢,但平稳性得到改善,超调变小,振荡次数减少。,校正前相角裕度为,校正后相角裕度为,例7-6 已知原系统开环传递函数为,若采用滞后校正装
11、置 , 试绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线,并与超前校正结果进行比较。,MATLAB 程序如下:,G0=tf(100,0.04,1,0) Gc=tf(0.5,1,2.5,1) G=Gc*G0 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) figure(1) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure(2) step(T0,T),运行程序,得到结果:,说明 滞后校正后系统的相角裕度由原来 的增加到 ,而剪切频率由原来 的减少到 ,同时阶跃响应的平稳性得到改善。,MATLAB 程序如下:,超前校正结果进行比较,G0=tf(100,
12、0.04,1,0) Ga=tf(0.5,1,2.5,1) G1=Ga*G0 Gb=tf(0.0262,1,0.0106,1) G2=Gb*G0 T1=feedback(G1,1) T2=feedback(G2,1) step(T1,r,T2,b,1.5),运行程序,得到结果:,713 相位超前滞后校正 相位超前滞后校正装置的等效RC网络如图所示,其传递函数,其中,超前环节,滞后环节,例7-7 设,试绘制超前滞后校正环节的bode图和Nyquist图,=10,beta=10 T1=1 T2=10 num=conv(T1 1,T2 1) den=conv(T1/beta 1,T2*beta 1)
13、Gc=tf(num,den) figure(1) bode(Gc) figure(2) nyquist(Gc),MATLAB 程序如下:,运行程序,得到结果:,说明 在bode图幅频特性上,低频段与高频段均为0dB,这表明该环节的总增益为1;在相频特性曲线上,曲线与 线交点处的频率刚好是在幅频特性曲线的最低点,其值 , 当 时,整个环节起滞后作用, 当 时,起超前校正作用。,例7-8已知原系统开环传递函数,试设计超前滞后校正装置 ,满足下列性能指标:速度误差系数 ,相角裕度 ,幅值裕度,要求:,(1)用MATLAB语句绘制校正前后系统的bode图和校正后的阶跃响应; (2)用Simulink进
14、行系统仿真,绘制仿真结构图。,理论分析: 为了满足速度误差系数 ,可求得 ,得未校正系统的相角裕度为 ,而幅值裕度 因此系统是不稳定的,现采用滞后超前校正。为了保持足够的响应速度,取校正后的剪切频率 (不至于距离校正前的剪切太远),求得滞后校正部分为: 超前校正部分为: 于是得滞后超前校正装置的传递函数为,MATLAB 程序如下:,G0=tf(10,conv(1 0,conv(1 1,0.5 1) figure(1) margin(G0) Gc1=tf(1.43 1,0.143 1) Gc2=tf(7.14 1,71.4 1) G=Gc1*Gc2*G0 figure(2) margin(G)
15、T=feedback(G,1) figure(3) step(T),运行程序,得到结果:,说明: 校正后系统的bode图和阶跃响应曲线表明系统具有良好的动态特性,比原来有了明显的改善。,说明: 校正满足设计要求,用Simulink进行系统仿真,仿真结构图如图所示。,7.2 反馈校正 除了前面介绍的三种串联校正方法之外,反馈校正(又称并联校正),也是广泛采用的系统设计方法之一。 设含有反馈校正的控制系统框图如图所示。,待校正系统开环传递函数为,校正后系统开环传递函数为,若在我们感兴趣的频段(即可接受校正的频段,一般在低、中频段)内,则有,或写为,表明,在bode图上只要待校正的开环幅频特性与期望
16、开环幅频特性相减,即可近似地获得 ,由于 已知, 可以立刻求出。,用期望特性法设计反馈校正装置的步骤如下: 1)根据稳态指标绘制未校正系统的开环对数幅频特性,即,2)根据给定性能指标绘制期望开环幅频特性,即,3)将以上两式相减,即可求得的对数频率特性,即,(要求 ),4)检查局部反馈回路的稳定性,并检查在期望剪切频率 附近 的程度是否符合近似条件,5)由 求出,6)检验校正后的系统是否满足性能指标要求。,例7-9已知某随动系统如图所示,试设计反馈校正装置,设计指标为: 绘制校正前后的bode图及单位阶跃响应曲线,并作出仿真结构图。,首先对本题做理论分析,1)由 可确定k=100,故固有部分传递
17、函数为,由Bode图可知系统的性能指标,2)求取期望频率特性。 根据性能指标 , 可求得 再由 ,可得,由经验公式,近似取,取中频宽,取,取,低频段的转折频率可由几何方法求得。 则校正后系统开环传递函数(即期望特性)为,3)确定校正装置 的参数。 将原系统化为结构图如图所示,由于低于 和高于 的频率无需校正,故考虑 的校正频率段。由期望特性和原系统的频率特性可推得,故反馈校正装置的传递函数为,式中 是反馈校正装置的增益,G01=tf(100,conv(0.1 1,0.0067 1) G02=tf(1,1 0) Hc=tf(0.0167 0,0.2 1) G0=G01*G02 Ga=feedba
18、ck(G01,Hc) G=Ga*G02 figure(1) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure(2) step(T0,T),MATLAB 程序如下:,运行程序,得到结果:,仿真结构图,7.3 PID控制器设计,PID控制是最早发展起来方法之一。由于其结构简单,应用中参数整定方便,因此在工业控制中得到广泛的应用。事实上,当今应用的工业控制器中,有半数以上是采用PID或变形PID控制方案的,其中包括传统的模拟式PID控制和近年来微处理器实现的数字PID控制器。,PID控制器的数学表达式为,其传递函数为,7.3.1 PID控制器的控
19、制特性,PID控制有多种应用形式,如P、PI、PID等,下面通过具体实例说明比例、积分、微分各环节的控制作用。,例7-10考虑一个三阶对象模型, 研究分别采用P、PI、PID控制策略下闭环系统的阶跃响应。,G=tf(1,1 3 3 1) P=0.2:0.6:2.0 for i=1:length(P) G_c=feedback(P(i)*G,1) step(G_c) hold on end,MATLAB 程序如下(采用P控制),运行程序,得到结果:,说明 当 值增大时,系统响应速度加快,幅值增高,说明 根轨迹分析可知,当 系统将不稳定。,G=tf(1,1 3 3 1) Kp=1 Ti=0.7:0
20、.2:1.5 for i=1:length(Ti) Gc=tf(Kp*1,1/Ti(i),1,0) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on end axis(0,18,0,2),MATLAB 程序如下(采用PI控制),运行程序,得到结果:,说明 PI的控制作用时可以消除静差, 当 值增大时,系统超调变小,响应速度变慢; 若 变小,则超调增大,响应加快。,G=tf(1,1 3 3 1) Kp=1 Ti=1 Td=0.1:0.4:2.1 for i=1:length(Td) Gc=tf(Kp*Ti*Td(i),Ti,1/Ti,1,0) G_c=feedback
21、(G*Gc,1) step(G_c) hold on end axis(0,20,0,1.6),MATLAB 程序如下(采用PID控制),运行程序,得到结果:,说明 当 增大时,系统的响应速度加快,响应峰值提高,在实际应用时,由于纯微分环节无法实现,通常用带有滞后的近似一阶环节来代替。相应的PID控制器传递函数为,为了较好地近似,N取值的可以大些。理论上当 时,近似微分环节将趋于理想微分环节。,例7-11 考虑一个三阶对象模型, 采用PID控制方法,令 ,研究近似微分环节对闭环系统阶跃响应的影响。,G=tf(1,1 3 3 1) Td=1;Kp=1;Ti=1 N=100,1000,1:10 G
22、c=tf(Kp*Ti*Td,Ti,1/Ti,1,0) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on for i=1:length(N) nn=Kp*(Ti*Td,0,0+conv(Ti,1,Td/N(i),1)/Ti dd=Td/N(i),1,0 Gc=tf(nn,dd) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on end figure y,t=step(G_c) err=1-y plot(t,err),MATLAB 程序如下,运行程序,得到结果:,说明 当选择N=10时,近似精度是令人满意的,说明 N=10时误差信号的变化情况
23、,7.3.2 PID控制器的参数整定,实现PID控制器的核心问题是根据给定的受控对象,合理的选择控制参数。PID控制器的三个参数选择,本质上是在三维空间的搜索问题。早在1942年,齐格勒-尼柯尔斯(Ziegler-Nichols)就在大量的实验基础上,提出了一种实用的参数整定规则,简称Z-N规则。,具有PID控制器的闭环系统框图。,由图可见,PID控制器是一种串联校正装置。当被控对象的数学模型已知时,可以采用各种不同的设计方法确定控制器的参数,包括解析方法和阶跃曲线等。但是被控对象模型无法精确获得,则不能用解析方法去设计控制器。在这种情况下,只能借助于实验的方法来整定控制器的参数。此时,Z-N
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