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1、 8.6 平行电流间的相互作用力,第8章 磁场的源,8.1 毕奥萨伐尔定律及应用, 8.3 安培环路定理, 8.4 利用安培环路定理求磁场 的分布, 8.5 与变化电场相联系的磁场,1、毕奥萨伐尔定律,(电流元在空间产生的磁场),真空磁导率,8.1 毕奥萨伐尔定律及应用,2、毕奥萨伐尔定律应用,例8.1 直线电流磁场。设有长为L的载流直导线,通有电流I。计算与导线垂直距离为r 的p点的磁感强度。,所有dB 的方向均垂直板面向里。,解:,几何关系:,1)导线无限长,2)导线半无限长,场点与一端的连线垂直于导线,磁感应线是垂直于导线平面,以导线为圆心的同心圆,由矢量叉乘关系:,例8.2 圆电流磁场
2、。 设有圆形线圈L,半径为R,通以电流I。求圆形导线轴线上的磁场分布,解:,取如图所示电流元,在P点的磁感强度为:,由圆电流的对称性可知:,1)在圆心处,2)在远离线圈处,圆电流的磁场分布,例8.3 载流直螺线管轴线上的磁场。设螺线管的半径为R,电流为I,管的长度为L,每单位长度有线圈n匝。求螺线管轴线上的磁场分布。,解:,P点:,dB的方向均向右,1)螺线管无限长,螺线管内部为均匀磁场。,2)半无限长螺线管的端点圆心处,如,通电螺线管的磁场分布,例: 一个半径R为的塑料薄圆盘,电量+q均匀分布其上,圆盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。,带电圆盘转动形成圆
3、电流。,解:,取距盘心r处宽度为dr的圆环作电流元,电流强度为:,8.3 安培环路定理,1、安培环路定理,安培,在恒定电流的磁场中,磁感应强度 沿任何闭合路径L的线积分(也称 的环路积分),等于路径L所包围的电流强度的代数和的0倍。,磁场的安培环路定理,空间所有电流共同产生的磁场,在磁场中任取的一闭合曲线,需要规定一个绕行方向。,L上的任一矢量线元,环路包围的所有电流的代数和,必须与L相套链,P点:,1)环路包围电流,用载有恒定电流I的无限长直导线的磁场加以证明:,2、 安培环路定理的证明,在垂直于导线的平面内取一通过场点P的任一闭合曲线L,规定绕行方向为逆时针,而:,如果沿同一路径L,但改变
4、L的绕行方向:,磁感应强度矢量的环流只和闭合曲线内所包围的电流有关。,电流I的正负规定:,L绕行方向与电流成右手螺旋关系时,电流I为正值;反之I为负值。,L,L,2) 环路不包围电流,闭合曲线不包围电流时时的情况得证!,若有若干个稳恒电流存在,由叠加原理:,安培环路定理。,注意: Ii 表示环路 l 所包围电流代数和。,电流流向与环绕方向满足右手螺旋法则为正,反之为负。,安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场,恒定电流本身总是闭合的,因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。,5、由安培环路定理求出感应强度 。,1、分析磁场的对称性;,3、计算环路积分;,8.4 利用安培环路定理求磁场的
5、分布,4、用右手螺旋定则确定曲线所包围电流的正负;,应用安培环路定理的解题步骤:,2、过场点选择适当的闭合曲线并规定绕行方向,使得 沿此环路的积分易于计算: 的量值恒定, 与 的夹角处处相等;,r,面电流密度( 通过与电流方向垂直的单位长度的电流)为 j,2、无限大均匀电流平面,1、无限长直线电流,这是一个均匀磁场,无限长均匀电流圆柱面,磁场的安培环路定理,例:载流长直螺线管内的磁场,解:,螺线管内部磁场向右,取如图所示闭合曲线,,设螺线管长度为 ,共有N 匝,规定绕行方向为顺时针,例8.7 通电螺绕环的磁场分布,已知环上线圈的总匝数为N,电流为I。,解:,螺绕环的磁场是许多圆电流磁场的叠加。
6、,磁场方向在环内的每一点都沿切向。,取与环同心的圆为闭合曲线,规定绕行方向为逆时针,位移电流,对L:,对S1:,对S2:,纯电阻电路:,8.5 与变化电场相联系的磁场,把安培环路定理推广到电流变化的回路时出现了矛盾。,问题一:场客观存在,环流值必须唯一,问题二:定理应该普适,出现矛盾,提出假设,修正理论,验证完善,电流概念必须发展!,对L:,对S1:,对S2:,此电路中电流即不恒定也不连续!,电容充放电电路:,麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃曼、汤姆逊等人的研究成果,特别是把法拉第的力线和场的概念用数学方法加以描述、论证、推广和提升,预言了电场波的存在,并创立了
7、一套完整的电磁场理论。,麦克斯韦:,麦克斯韦电磁场理论最卓越的成就就是预言了变化的电磁场以波的形式按一定速度在空间传播,理论表明,光波也是电磁波,从而把光现象和电磁现象联系了起来。,b 板带电量为-q,电荷密度为- 。,回路中的传导电流可表示为,设某一时刻t,a 板带电量为+q,电荷密度为+;,板间电位移矢量:,极板上电荷量的变化联结了导线中的电流,而极板间变化的电场又联结了极板上电荷量的变化,当充电时,电场增加,dD/dt的方向与场的方向一致,也与导线中的电流方向一致,即从左向右。,从而使电路中的电流借助于电容器的电场变化仍可视为连续的。,麦克斯韦提出了位移电流的假说:变化的电场也是一种电流
8、。用Id 表示,则,当放电时,电场减弱,dD/dt的方向与场的方向相反,但仍与导线中的电流方向一致,即从右向左。,在有电容器的电路中,电容器极板表面被中断的传导电流Ic,可以由位移电流Id继续下去,从而构成了电流的连续性。,位移电流,电容器板间电位移矢量:,二. 位移电流与电位移矢量的关系,麦克斯韦假设位移电流存在后,提出了全电流的概念,全电流,传导电流,位移电流,全电流定理(推广或普遍了的安培环路定理),麦克斯韦假设了位移电流,把安培环路定理推广到非恒定情况下也适用,用全电流定理就可以解决前面的充电电路中矛盾,只有传导电流:,只有位移电流:,对S1:,对S2:,产生的原因不同:传导电流是由自
9、由电荷运动引起的,而位移电流本质上是变化的电场。,例:如图,半径为R=0.1m的两块圆形平行板构成平行板电容器,两板间距dR(图上未按比例画)导线的半径r=2mm.如充电过程某时刻电容器两板间的场强随时间变化率 求(1)此时刻两板间的位移电流? (2)两板间离中心线r =2cm处P点的磁感应强度? (3)导线表面的磁感强度?,(1),两板绝缘所以两板间无传导电流,故两板间的全电流为2.78A,根据电流的连续性导线中的全电流为2.78A,由于一般导体中场强随时间的变化率很小,所以导线中的位移电流远小于传导电流。因此可以认为导线中的传导电流是2.78A.,(2)两板间离中心线r =2cm处P点的磁
10、感应强度?,(3)导线表面的磁感强度?,导线中位移电流很小,可以认为电路中的全电流都集中于半径为2mm的导线内,对导线表面用全电流定律,有:,感生磁场的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。,(2)两板间离中心线r =2cm处P点的磁感应强度?,(3)导线表面的磁感强度?,导线中位移电流很小,可以认为电路中的全电流都集中于半径为2mm的导线内,对导线表面用全电流定律,有:,感生磁场的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。,8.6 平行电流间的相互作用力,例如:计算通电导线受到的磁力。,导线1在导线2处的磁感应强度:,导线2受到的磁力,导线2单位长度上受到的磁力:,导
11、线1单位长度上受到的磁力:,结论:,同向相斥,异向相吸!,例:一半径为R的无限长半圆柱面导体,其上电流(沿z方向)与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向,电流I在圆柱面上均匀分布。,3、若用另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相同的电流I)代替圆柱面,要产生同样的作用力,该导线应放在何处?,1、轴线处的磁感应强度?,2、轴线上导线单位长度所受的力?,解:,1、半圆柱面可看成许多载流直导线组成,在半圆上取一段线元,此电流在轴线产生的磁场为,半圆柱面的线电流密度:,所以:,载有电流,由对称性知磁场的x分量为零。,2、轴线上dl 长的导线受的安培力:,沿X轴正向,单位长度受力:,3 、替代电流在轴线上所产生的磁场,应等于半圆柱面电流在轴线上所产生的磁场。,替代电流方向沿Z轴正向所以应处在X轴负半轴上,设替代电流与原点距离为x,例:在xoy平面有一圆心在O点的圆线圈,通以顺时针绕行的电流I1,另有一无限长直导线,与y轴重合,通以电流I2,方向向上,求此时圆线圈所受的磁力。,解:,无限长导线的磁场, 8.1 8.4 8.5 8.13 8.23,第八章,作业,
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