2018年中考数学真题分类汇编第三期专题39开放性问题试题含解.doc
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1、精选word版 下载编辑打印开放性问题解答题1. (2018湖北十堰12分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,0),B(0、4)与x轴交于另一点C,连接BC(1)求抛物线的解析式;(2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且SPBO=SPBC,求证:APBC;(3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作POB和PBC的高线,根据面积相等可得OE=CF,证明OEGCFG,则OG=CG
2、=2,根据三角函数列式可得P的坐标,利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式,k相等则两直线平行;(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与ABE有可能相似,即ABC和BCE,当ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角BAE=BAC,可得ABEACB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标;当ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论【解答】解:(1)把点A(2,0),B(0、4)代入抛物线y=x2+bx+c中得:,解得:,抛物线的解析式为:y=x2x
3、4;(2)当y=0时,x2x4=0,解得:x=2或4,C(4,0),如图1,过O作OEBP于E,过C作CFBP于F,设PB交x轴于G,SPBO=SPBC,OE=CF,易得OEGCFG,OG=CG=2,设P(x,x2x4),过P作PMy轴于M,tanPBM=,BM=2PM,4+x2x4=2x,x26x=0,x1=0(舍),x2=6,P(6,8),易得AP的解析式为:y=x+2,BC的解析式为:y=x4,APBC;(3)以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有ABC.ABE.ACE.BCE,四种,其中ABE重合,不符合条件,ACE不能构成三角形,当ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似
4、,存在两个三角形:ABC和BCE,当ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,BAE=BAC,ABEABC,ABE=ACB=45,ABEACB,AE=,E(,0),B(0,4),易得BE:y=,则x2x4=x4,x1=0(舍),x2=,D(,);当ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,BEA=BEC,当ABE=BCE时,ABEBCE,=,设BE=2m,CE=4m,RtBOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,3m28m+8=0,(m2)(3m2)=0,m1=2,m2=,OE=4m4=12或,OE=2,AEB是钝角,此时ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三
5、角形不相似,如图4,E(12,0);同理得BE的解析式为:y=x4,x4=x2x4,x=或0(舍)D(,);综上,点D的坐标为(,)或(,)【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理,第3问有难度,确定三角形与ABE相似并画出图形是关键2. (2018湖北江汉12分)抛物线y=x2+x1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D将抛物线位于直线l:y=t(t)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象(1
6、)点A,B,D的坐标分别为(,0),(3,0),(,);(2)如图,抛物线翻折后,点D落在点E处当点E在ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标;(2)由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围;(3)假设存在,设点
7、P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m,分m或m3及m3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解【解答】解:(1)当y=0时,有x2+x1=0,解得:x1=,x2=3,点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0)y=x2+x1=(x2x)1=(x)2+,点D的坐标为(,)故答案为:(,0);(3,0);(,)(2)点E.点D关于直线y=t对称,点E的坐标为(,2t)当x=0时,y=x2+x1=1,点C的坐标为(0,1)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,1)代入y=kx+b,解得:,线段BC所在直线的解析
8、式为y=x1点E在ABC内(含边界),解得:t(3)当x或x3时,y=x2+x1;当x3时,y=x2x+1假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m当m或m3时,点Q的坐标为(m,x2+x1)(如图1),以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,CPPQ,CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2+m)2=m2+1+m2+(m2+m1)2,整理,得:m1=,m2=,点P的坐标为(,0)或(,0);当m3时,点Q的坐标为(m,x2x+1)(如图2),以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,CPPQ,CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2m+2)2=m2+1+m2+(m2m+1)2,整理,得:11m22
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