2018年中考数学真题分类汇编第二期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析.doc
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1、精选word版 下载编辑打印直角三角形与勾股定理 一.选择题1.(2018江苏淮安3分)如图,菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()A20B24C40D48【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长【解答】解:由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AOBO,则AB=5,故这个菱形的周长L=4AB=20故选:A【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般2.(2018山东东营市3分)如图所示,圆柱的高A
2、B=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()ABCD【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A.C的最短距离为线段AC的长在RtADC中,ADC=90,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5,所以AC=,故选:C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答3.(2018湖州3分)如图,已知在ABC中,BAC90,点D为BC的中点,点E在AC上,将CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA
3、的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是()A. AE=EF B. AB=2DEC. ADF和ADE的面积相等 D. ADE和FDE的面积相等【答案】C【解析】分析:先判断出BFC是直角三角形,再利用三角形的外角判断出A正确,进而判断出AE=CE,得出CE是ABC的中位线判断出B正确,利用等式的性质判断出D正确详解:如图,连接CF,点D是BC中点,BD=CD,由折叠知,ACB=DFE,CD=DF,BD=CD=DF,BFC是直角三角形,BFC=90,B=BFD,EAF=B+ACB=BFD+DFE=AFE,AE=EF,故A正确,由折叠知,EF=CE,AE=CE,BD=CD,DE是AB
4、C的中位线,AB=2DE,故B正确,BD=DF,AE=CE,SADE=SCDE,由折叠知,CDEFDE,SCDE=SFDE,SADE=SFDE,故D正确,C选项不正确,故选:C点睛:此题主要考查了折叠的性质,直角三角形的判定和性质,三角形的中位线定理,作出辅助线是解本题的关键4. (2018广西北海3分)如图,矩形纸片 ABCD,AB4,BC3,点 P 在 BC 边上,将CDP 沿 DP 折叠,点 C落在点 E 处,PE.DE 分别交 AB 于点 O、F,且 OPOF,则 cosADF 的值为11131517A.B.C.D.13151719【答案】C【考点】折叠问题:勾股定理列方程,解三角形,
5、三角函数值【解析】由题意得:RtDCPRtDEP,所以 DCDE4,CPEP在 RtOEF 和 RtOBP 中,EOFBOP,BE,OPOFRtOEFRtOBP(AAS),所以 OEOB,EFBP设 EF 为 x,则 BPx,DFDEEF4x,又因为 BFOFOBOPOEPEPC,PCBCBP3x4精选word版 下载编辑打印所以,AFABBF4(3x)1x在 RtDAF 中,AF2AD2DF2,也就是(1x)232(4x)233317解之得,x5,所以 EF5,DF45 5AD15最终,在 RtDAF 中,cosADFDF17【点评】本题由题意可知,RtDCPRtDEP 并推理出 RtOEF
6、RtOBP,寻找出合适的线段设未知数,运用勾股定理列方程求解,并代入求解出所求cos 值即可得。5(2018年湖南省娄底市)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sincos=()ABCD【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sin和cos的值,进而可求出sincos的值【解答】解:小正方形面积为49,大正方形面积为169,小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC60=0,解得AC=5,AC=
7、12(舍去),BC=12,sin=,cos=,sincos=,故选:D【点评】本题考查了勾股定理的证明,锐角三角形函数的定义,利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键6. (2018湖南长沙3.00分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定
8、理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解:52+122=132,三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,这块沙田面积为:550012500=7500000(平方米)=7.5(平方千米)故选:A【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出三角形的形状是解题关键二.填空题1. (2018湖北襄阳3分)已知CD是ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为2或2【分析】分两种情况:当ABC是锐角三角形,如图1,当ABC是钝角三角形,如图2,分别根据勾股定理计算AC和BC即可【解答】解:分两种情况:当ABC是锐角三角形,如图1,CDAB,CDA=90,CD
9、=,AD=1,AC=2,AB=2AC,AB=4,BD=41=3,BC=2;当ABC是钝角三角形,如图2,同理得:AC=2,AB=4,BC=2;综上所述,BC的长为2或2故答案为:2或2【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用,在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长,要熟练掌握2.(2018江苏徐州3分)边长为a的正三角形的面积等于【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解:过点A作ADBC于点D,ADBC,BD=CD=a,AD=a,面积则是:aa=a2【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法,比较简单3.(2018江苏徐州3分)如图,RtABC中,B=90,AB=3cm,AC=5cm
10、,将ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则ABE的周长等于7cm【分析】根据勾股定理,可得BC的长,根据翻折的性质,可得AE与CE的关系,根据三角形的周长公式,可得答案【解答】解:在RtABC中,B=90,AB=3cm,AC=5cm,由勾股定理,得BC=4由翻折的性质,得CE=AEABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7故答案为:7【点评】本题考查了翻折的性质,利用了勾股定理,利用翻折的性质得出CE与AE的关系是阶梯关键,又利用了等量代换4.(2018江苏无锡2分)已知ABC中,AB=10,AC=2,B=30,则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交
11、BC(或BC延长线)于点D,分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在RtABD中求得AD.BD的值,再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长,根据三角形的面积公式求解可得【解答】解:作ADBC交BC(或BC延长线)于点D,如图1,当AB.AC位于AD异侧时,在RtABD中,B=30,AB=10,AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,在RtACD中,AC=2,CD=,则BC=BD+CD=6,SABC=BCAD=65=15;如图2,当AB.AC在AD的同侧时,由知,BD=5,CD=,则BC=BDCD=4,SABC=BCAD=45=10综上,ABC的面积
12、是15或10,故答案为15或10【点评】本题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理5.(2018江苏无锡2分)如图,已知XOY=60,点A在边OX上,OA=2过点A作ACOY于点C,以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC,点P是ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PDOY交OX于点D,作PEOX交OY于点E设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线,构建30度的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在RtHEP中,EPH=30,可得EH的长,计算a+2b=2OH,确认OH最大和最
13、小值的位置,可得结论【解答】解:过P作PHOY交于点H,PDOY,PEOX,四边形EODP是平行四边形,HEP=XOY=60,EP=OD=a,RtHEP中,EPH=30,EH=EP=a,a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是:1+=,即(a+2b)的最大值是5,2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质,有难度,掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围6.(2018江苏淮安3分)如图,在RtABC中,C=90,
14、AC=3,BC=5,分别以点A.B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB,推出DA=DB,设DA=DB=x,在RtACD中,C=90,根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题;【解答】解:连接ADPQ垂直平分线段AB,DA=DB,设DA=DB=x,在RtACD中,C=90,AD2=AC2+CD2,x2=32+(5x)2,解得x=,CD=BCDB=5=,故答案为【点评】本题考查基本作图,线段的垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题7.(201
15、8江苏苏州3分)如图,88的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则的值为【分析】由2r1=、2r2=知r1=、r2=,据此可得=,利用勾股定理计算可得【解答】解:2r1=、2r2=,r1=、r2=,=,故答案为:【点评】本题主要考查圆锥的计算,解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理8.(2018江苏苏州3分)如图,在RtABC中,B=90,AB=2,BC=将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ABC,连接BC,则sin
16、ACB=【分析】根据勾股定理求出AC,过C作CMAB于M,过A作ANCB于N,求出BM、CM,根据勾股定理求出BC,根据三角形面积公式求出AN,解直角三角形求出即可【解答】解:在RtABC中,由勾股定理得:AC=5,过C作CMAB于M,过A作ANCB于N,根据旋转得出AB=AB=2,BAB=90,即CMA=MAB=B=90,CM=AB=2,AM=BC=,BM=2=,在RtBMC中,由勾股定理得:BC=5,SABC=,5AN=22,解得:AN=4,sinACB=,故答案为:【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定,能正确作出辅助线是解此题的关键9.(2018江苏苏州3分)如图,
17、已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,DAP=60M,N分别是对角线AC,BE的中点当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为2(结果留根号)【分析】连接PM、PN首先证明MPN=90设PA=2a,则PB=82a,PM=a,PN=(4a),构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;【解答】解:连接PM、PN四边形APCD,四边形PBFE是菱形,DAP=60,APC=120,EPB=60,M,N分别是对角线AC,BE的中点,CPM=APC=60,EPN=EPB=30,MPN=60+30=90,设
18、PA=2a,则PB=82a,PM=a,PN=(4a),MN=,a=3时,MN有最小值,最小值为2,故答案为2【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题10. (2018杭州4分)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:把ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;把纸片展开并铺平;把CDG翻折,点C落在直线AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=_。【答案】或3 【考点】勾股定理,矩形的性质,正方形的性质,翻折变换(折叠问题) 【解析】【解答】当点H在线段
19、AE上时把ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上四边形ADFE是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG翻折,点C落在直线AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上DC=DH=AB=AD+2在RtADH中,AD2+AH2=DH2AD2+(AD-1)2=(AD+2)2解之:AD=3+2 ,AD=3-2 (舍去)AD=3+2 当点H在线段BE上时则AH=AE-EH=AD+1在RtADH中,AD2+AH2=DH2AD2+(AD+1)2=(AD+2)2解之:AD=3,AD=-1(舍去)故答案为: 或3【分析】分两种情况:当点H在线段AE上;当点H在线段BE上。根据的
20、折叠,可得出四边形ADFE是正方形,根据正方形的性质可得出AD=AE,从又ABC=ACBBDECAD(2)AB=13,BC=10BD=CD= BC=5,AD2+BD2=AB2AD=12BDECAD ,即 DE= 而可得出AH=AD-1(或AH=AD+1),再根据的折叠可得出DH=AD+2,然后根据勾股定理求出AD的长。11 (2018湖州4分)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图例如,在如图1所示的格点弦图
21、中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的而积为5问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是13或49(不包括5)【分析】当DG=,CG=2时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=,可得正方形EFGH的面积为13当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49【解答】解:当DG=,CG=2时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=,可得正方形EFGH的面积为13当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49故答案为13或49【点评】本题考查作图应用与设计
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