2018年中考数学真题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析.doc
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1、精选word版 下载编辑打印解直角三角形一.选择题 1.(2018江苏苏州3分)如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先证明PB=BC,推出C=30,可得PC=2PA,求出PA即可解决问题;【解答】解:在RtPAB中,APB=30,PB=2AB,由题意BC=2AB,PB=BC,C=CPB,ABP=C+CPB=60,C=30,PC=
2、2PA,PA=ABtan60,PC=220=40(海里),故选:D【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题,解题的关键是证明PB=BC,推出C=302.(2018江苏无锡3分)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tanAFE的值()A等于B等于C等于D随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EFAD,由该平行线的性质推知AEHACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解:EFAD,AFE=FAG,AEHACD,=设EH=3x,AH=4x,HG=GF=3x,tanAFE=tanFAG
3、=故选:A【点评】考查了正方形的性质,矩形的性质以及解直角三角形,此题将求AFE的正切值转化为求FAG的正切值来解答的3. (2018黑龙江哈尔滨3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,BD=8,tanABD=,则线段AB的长为()AB2C5D10【分析】根据菱形的性质得出ACBD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可【解答】解:四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=CO,OB=OD,AOB=90,BD=8,OB=4,tanABD=,AO=3,在RtAOB中,由勾股定理得:AB=5,故选:C【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解
4、直角三角形,能熟记菱形的性质是解此题的关键4.(2018贵州贵阳3分)如图,A.B.C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan BAC的值为( B )6(A) 1(B)1 (C)23(D) 33【解】图解2.二.填空题1.(2018江苏无锡2分)已知ABC中,AB=10,AC=2,B=30,则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交BC(或BC延长线)于点D,分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在RtABD中求得AD.BD的值,再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长,根据三角形的面积公式求解可得【解答】解:作ADBC交BC(或BC
5、延长线)于点D,如图1,当AB.AC位于AD异侧时,在RtABD中,B=30,AB=10,AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,在RtACD中,AC=2,CD=,则BC=BD+CD=6,SABC=BCAD=65=15;如图2,当AB.AC在AD的同侧时,由知,BD=5,CD=,则BC=BDCD=4,SABC=BCAD=45=10综上,ABC的面积是15或10,故答案为15或10【点评】本题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理2.(2018江苏苏州3分)如图,在RtABC中,B=90,AB=2,BC=将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得
6、到ABC,连接BC,则sinACB=【分析】根据勾股定理求出AC,过C作CMAB于M,过A作ANCB于N,求出BM、CM,根据勾股定理求出BC,根据三角形面积公式求出AN,解直角三角形求出即可【解答】解:在RtABC中,由勾股定理得:AC=5,过C作CMAB于M,过A作ANCB于N,根据旋转得出AB=AB=2,BAB=90,即CMA=MAB=B=90,CM=AB=2,AM=BC=,BM=2=,在RtBMC中,由勾股定理得:BC=5,SABC=,5AN=22,解得:AN=4,sinACB=,故答案为:【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定,能正确作出辅助线是解此题的关键3.(
7、2018山东济宁市3分)如图,在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A,B 两个观测站,B 站在 A 站的正东方向上,从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上,从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上,则船 C 到海岸线 l 的距离是 km【解答】解:过点 C 作 CDAB 于点 D, 根据题意得:CAD=9060=30,CBD=9030=60,ACB=CBDCAD=30,CAB=ACB,BC=AB=2km,在 RtCBD 中,CD=BCsin60=2=(km) 故答案为:精选word版 下载编辑打印3. (2018广西南宁3分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30,
8、从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是40m(结果保留根号)【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解:由题意可得:BDA=45,则AB=AD=120m,又CAD=30,在RtADC中,tanCDA=tan30=,解得:CD=40(m),故答案为:40【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确得出tanCDA=tan30=是解题关键4. (2018黑龙江齐齐哈尔3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD=,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD=17【分析】作AHB
9、D于H,CGBD于G,根据正切的定义分别求出AH、BH,根据勾股定理求出HD,得到BD,根据勾股定理计算即可【解答】解:作AHBD于H,CGBD于G,tanABD=,=,设AH=3x,则BH=4x,由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,解得,x=4,则AH=12,BH=16,在RtAHD中,HD=5,BD=BH+HD=21,ABD+CBD=90,BCH+CBD=90,ABD=CBH,=,又BC=10,BG=6,CG=8,DG=BDBG=15,CD=17,故答案为:17【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义,掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键5.(2
10、018贵州铜仁4分)在直角三角形ABC中,ACB=90,D.E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分BCE,BC=2,则AB=4【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分ACD,进而可得出ACE=DCE,由CD平分BCE利用角平分线的性质可得出DCE=DCB,结合ACB=90可求出ACE.A的度数,再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值,即可求出AB的长度【解答】解:CE所在直线垂直平分线段AD,CE平分ACD,ACE=DCECD平分BCE,DCE=DCBACB=90,ACE=ACB=30,A=60,AB=4故答案为:4三.解答题1. (2018湖北随州8分)随州市
11、新水一桥(如图1)设计灵感来源于市花兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上已知ABC=DEB=45,ACB=30,BE=6米,AB=5BD(1)求最短的斜拉索DE的长;(2)求最长的斜拉索AC的长【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质计算DE的长;(2)作AHBC于H,如图2,由于BD=DE=3,则AB=3BD=15,在RtABH中,根据等腰直角三角形的性质可计算
12、出BH=AH=15,然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长【解答】解:(1)ABC=DEB=45,BDE为等腰直角三角形,DE=BE=6=3答:最短的斜拉索DE的长为3m;(2)作AHBC于H,如图2,BD=DE=3,AB=3BD=53=15,在RtABH中,B=45,BH=AH=AB=15=15,在RtACH中,C=30,AC=2AH=30答:最长的斜拉索AC的长为30m【点评】本题考查了解直角三角形的应用:将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)2. (2018湖南郴州8分)小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机
13、飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为EAB=60,EAC=30,且D,B,C在同一水平线上已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD(精确到0.01米参考数据:1.414,1.732)【分析】由EAB=60、EAC=30可得出CAD=60、BAD=30,进而可得出CD=AD.BD=AD,再结合BC=30即可求出AD的长度【解答】解:EAB=60,EAC=30,CAD=60,BAD=30,CD=ADtanCAD=AD,BD=ADtanBAD=AD,BC=CDBD=AD=30,AD=1525.98【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题,通过解直角三角形找
14、出CD=AD.BD=AD是解题的关键3.(2018江苏宿迁10分)如图,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ,然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300,设PQ垂直于AB,且垂足为C.(1)求BPQ的度数;(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1m, )【答案】(1)BPQ=30;(2)树PQ的高度约为15.8m. 【分析】 (1)根据题意题可得:A=45,PBC=60,QBC=30,AB=100m,在RtPBC中,根据三角形内角和定理即可得BPQ度数;(2)设CQ=x,在RtQBC中,根据30度所
15、对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=x;根据角的计算得PBQ=BPQ=30,由等角对等边得PQ=BQ=2x,用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又A=45,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】(1)依题可得:A=45,PBC=60,QBC=30,AB=10m,在RtPBC中,PBC=60,PCB=90,BPQ=30;(2)设CQ=x,在RtQBC中,QBC=30,QCB=90,BQ=2x,BC=x,又PBC=60,QBC=30,PBQ=30,由(1)知BPQ=30,PQ=BQ=2x,PC=PQ+QC=
16、3x,AC=AB+BC=10+x,又A=45,AC=PC,即3x=10+x,解得:x=,PQ=2x=15.8(m),答:树PQ的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等,准确识图是解题的关键.4.(2018江苏淮安8分)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45的方向上,如图所示求凉亭P到公路l的距离(结果保留整数,参考数据:1.414,1.732)【分析】作
17、PDAB于D,构造出RtAPD与RtBPD,根据AB的长度利用特殊角的三角函数值求解【解答】解:作PDAB于D设BD=x,则AD=x+200EAP=60,PAB=9060=30在RtBPD中,FBP=45,PBD=BPD=45,PD=DB=x在RtAPD中,PAB=30,CD=tan30AD,即DB=CD=tan30AD=x=(200+x),解得:x273.2,CD=273.2答:凉亭P到公路l的距离为273.2m【点评】此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答5.(2018江苏徐州5分)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给
18、出的数据,求坝高和坝底宽(精确到0.1m)参考数据:1.414,1.732【分析】利用锐角三角函数,在RtCDE中计算出坝高DE及CE的长,通过矩形ADEF利用等腰直角三角形的边角关系,求出BF的长,得到坝底的宽【解答】解:在RtCDE中,sinC=,cosC=,DE=sin30DC=14=7(m),CE=cos30DC=14=712.12412.12,四边形AFED是矩形,EF=AD=6m,AF=DE=7m在RtABF中,B=45,DE=AF=7m,BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1(m)答:该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m【点评】本题考查了解直角三角形的应
19、用题目难度不大,求BF的长即可利用直角等腰三角形的性质,也可利用锐角三角函数6.(2018江苏无锡8分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cosB=,求AD的长【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90,ABC+ADC=180作AEBC于E,DFAE于F,则CDFE是矩形,EF=CD=10解RtAEB,得出BE=ABcosABE=,AE=,那么AF=AEEF=再证明ABC+ADF=90,根据互余角的互余函数相等得出sinADF=cosABC=解RtADF,即可求出AD=6【解答】解:四边形ABCD内接于O,A=90,C=180A=90,ABC+ADC=180作
20、AEBC于E,DFAE于F,则CDFE是矩形,EF=CD=10在RtAEB中,AEB=90,AB=17,cosABC=,BE=ABcosABE=,AE=,AF=AEEF=10=ABC+ADC=180,CDF=90,ABC+ADF=90,cosABC=,sinADF=cosABC=在RtADF中,AFD=90,sinADF=,AD=6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形,求出AF=以及sinADF=是解题的关键7.(2018江苏宿迁10分)如图,AB.AC分别是O的直径和弦,ODAC于点D,过点A作O的切线与OD的延长线交于点P,PC.AB的延长线交于点
21、F.(1)求证:PC是O的切线;(2)若ABC=60,AB=10,求线段CF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)CF=5. 【分析】试题分析:(1)、连接OC,可以证得OAPOCP,利用全等三角形的对应角相等,以及切线的性质定理可以得到:OCP=90,即OCPC,即可证得;(2)、依据切线的性质定理可知OCPE,然后通过解直角三角函数,求得OF的值,再减去圆的半径即可试题解析:(1)、连接OC,ODAC,OD经过圆心O,AD=CD,PA=PC,在OAP和OCP中,OAPOCP(SSS),OCP=OAPPA是O的切线,OAP=90OCP=90,即OCPCPC是O的切线(2)、AB是直径,ACB
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- 2018 年中 数学 分类 汇编 第二 专题 28 直角三角形 试题 解析
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