第10部分计算机图形学Bezier曲线.ppt
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1、2019/6/20,李辉 副教授,Bezier曲线,Ray ,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,内容,Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,Bezier 曲线历史,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。 1962年,法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法,并用这种方法完成了一种称为UN
2、ISURF 的曲线和曲面设计系统,1972年,该系统被投入了应用。,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,三次Bezier曲线示例,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,Bezier 曲线的定义,定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则Bezier曲线可定义为: 其中:Pi构成该Bezier曲线的特征多边形,Bi,n(t)是n次Bernstein基函数:,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,Bernstein基函数的性质,正性 端点性质,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,权性 对称性,2019/6/20,第10部分
3、Bezier曲线,递推性,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,导函数,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,Bezier 曲线的性质,端点性质 曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得,当t=0时,P(0)=P0 ;当t=1时,P(1)=Pn。由此可见,Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,切矢量 当t=0时,P(0)=n(P1-P0), 当t=1时,P(1)=n(Pn-Pn-1), 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一
4、致。,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,二阶导矢 当t=0时 当t=1时 结论:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,对称性 由控制顶点 构造出的新Bezier曲线,与原Bezier曲线形状相同,走向相反。因为:,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,凸包性 且 Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合,即曲线落在Pi构成的凸包之中。,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,几何不变性 Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0, 1, , n)的位置有关,不依赖坐标系的选择。 变
5、差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形P0P1Pn, 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数,这一性质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小,也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,Bezier曲线的矩阵表示,一次,三次,二次,2019/6/20,第10部分 Bezier曲线,需求 计算Bezier曲线上的点,可用Bezier曲线方程,但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 基本递推算法 抛物线三切线定理,Bezier曲线的递推算
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