第6章Z变换.ppt
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1、第 6 章 Z变换,6.1 z变换基础 6.2 传输函数 6.3 逆z变换 6.4 传输函数与稳定性,返回,6.2.1 传输函数和差分函数 6.2.2 传输函数很脉冲响应 6.2.3 计算滤波器输出 6.2.4 传输函数的级联和并联,6.2 传输函数,返回,6.3 逆z变换,6.3.1 标准式 6.3.2 简单的逆 z 变换 6.3.3 长除法求逆 z 变换 6.3.4 部分分式展开法求逆 z 变换,返回,6.4 传输函数与稳定性,6.4.1 极点与零点 6.4.2 稳定性 6.4.3 一阶系统 6.4.4 二阶系统,返回,专业词汇,z transform z变换 region of conv
2、ergence 收敛域 inverse z transform 逆z变换 transfer function 传输函数 partial fraction expansion 部分分式展开 cover-up method 覆盖法 zero 零点 pole 极点 marginally stable 临界稳定 unstable 不稳定,6.1 z变换基础,序列xn的z变换定义为 X (z)=xnz-n xn 的z变换处于 z 域,z 域是含有复数的频域 z 实部为横轴,虚部为纵轴的复平面上的复变量, 把序列 xn 的 z 变换记为 Zxn = X(z) 由 X(z) 计算 xn 进行 z 的逆变换
3、xn = Z-1X(z),Z 变换 n=0 称为单边 Z 变换,其特点是可考虑起始 条件,更易收敛,实际中应用较多。,n=- 称为双边 Z 变换,由- 起无法考虑起 始条件,在理论上的意义更大。, n=0,Z 变换的收敛域 Z 变换是 Z-1 的幂级数,只有当此级数收敛,Z 变换 才有意义,而且同一个 Z 变换是式,收敛域不同,可以 代表不同序列的 Z 变换函数。, Z 变换收敛域是定义 Z 变换函数极其重要的因素。, n=0,比值法判定:若有一正项级数|an|,其后项与前项比值极限为 lim =R,R1时级数收敛。,n,an+1 an,例 6.1 计算序列 xn = n 的 z 变换 X(z
4、)。,解: 信号n 只在 n=0 处有非零值,因此: Zxn = X(z) = nz-n = 0 = 1 此 z 变换对所有的 z 值都有定义,故其收敛为整个 z 平面。, n=0,例 6.2 计算序列 xn = n-1 的 z 变换。,解: 信号只在 n=1 一个地方有非零值,因此: Zxn = X(z) = n-1z-n = 0z-1 = z-1 除了 z=0 外其余的 z 都有意义,因此其收敛域为 z0 的 整个平面。, n=0,例 6.3 计算 xn = un 的 X(z)。,例 6.4 信号 xn 如图 6.1所示,计算信号的 z 变换。,图 6.1,例 6.5 计算序列 xn =
5、(-0.5)nun 的 z 变换。,基本 z 变换列于表 6.1,信号xn x(z) 收敛域,n 1 z un |z|1 nun |z| nun |z|1 cos(n)un |z|1 sin(n)un |z|1 ncos(n)un |z| nsin(n)un |z|,z z 1,z z ,z ( z 1)2,z2 - zcos z2 2zcos+1,z2 - zsin z2 2zcos+1,z2 - zcos z2 2zcos+2,z sin z2 2zcos+2,例:6.6 求信号 xn = 2un-2 的 z 变换。,返回,6.2 传输函数,6.2.1 传输函数和差分方程。 若计算差分方程
6、 z 变换, 则对方程中的每一项都要进行z 变换。 若 Zyn=Y(z) Zyn-2 = Z-2 Y(z) Zxn=X(z) Zxn-2 = Z-2 X(z) 对差分方程每项 z 变换后,Z域中的输入输出比为 H(z)= = H(z)称为传输函数。,输出 输入,Y(z) X(z),对差分方程一般式: a0yn + a1yn-1 + + aNyn- N = b0xn + b1xn-1 + + bMxn M,逐项进行变换,得: a0 Y(z) +a1z-1 Y(z) + +aN z-NY(z) = b0 X(z) + b z-1 X(z) + + bM z-M X(z),例:6.8 求下列差分方程
7、所描述系统的传输函数: 2yn + yn-1 + 0.9ynn-2 = xn-1 + xn-4,解: 逐项进行 z 变换得: 2Y(z) + z-1 Y(z) + 0.9z-2Y(z) = z-1X(z) + z-4 X(z),Y(z) 是滤波器输出 yn 的 z 变换,X(z) 是滤波器输入 xn 的 z 变换,左右两边分别提取公因式 Y(z)和X(z)有: (2 + z-1 + 0.9z-2)Y(z) = (z-1 + z-4) X(z),例 6.9 由下列差分方程计算系统传输函数: yn 0.2yn-1 = xn + 0.8xn-1,例 6.10 计算下列差分方程的系统传输函数: yn
8、= 0.75Xn 0.3xn-2 0.01xn-3,解: 这个非递归差分方程所对应的传输函数为: H(z) = 0.75 0.3z-2 0.01z-3,例 6.11 求下列系统传输函数的差分方程: H(z) =,1 + 0.5z-1 1 0.5z-1,例 6.12 求下列系统传输函数的差分方程: H(z) =,叉乘得: Y(z)(8z2 6z + 1) = X(z)(z),逆 z 变换得: 8yn+2 6yn+1 + yn = xn+1,此差分方程看起来不熟悉,最新的输出为 yn+2,而不 是 yn;然而差分方程简单表示了相对不同时刻的数据联 系。只要每一项都进行相同的移位,差分方程不变。全部
9、 向后移两位,差分方程为: 8yn 6yn-1 + yn-2 = xn-1 或 yn 0.75yn-1 + 0.125yn-2 = 0.125xn-1,返回,6.2.2 传输函数和脉冲响应,图6.4 差分方程,脉冲响应,传输函数描述系统,时域的卷积等效 频域点积; 时域的点积等效 频域卷积,H(z) 是脉冲响应的 z 变换,也就是滤波器的传输函数是 其脉冲响应的 z 变换。 Zh(n) = H(z) = h(n)z-n 脉冲响应 h(n) 是传输函数的逆 z 变换 h(n) = z-1 H(z), K=-,例 6.13 数字滤波器的脉冲响应为: hn = n + 0.4n-1 + 0.2n-2
10、 + 0.05n-3 求此滤波器的传输函数。,解: 滤波器的传输函数就是脉冲响应的 z 变换: H(z) = 1+ 0.4z-1 + 0.2z-2 + 0.05z-3 注意,此传输函数得到差分方程: yn = xn+0.4xn-1+0.2xn-2+0.05xn-3,返回,6.2.3 计算滤波器输出 用传输函数 H(z) =,Y(z) X(z),Y(z) = H(z)X(z),yn = Z-1Y(z),返回,6.2.4 传输函数的级联和并联,图 6.5,例 6.14 求图 6.6 所示级联所对应的差分方程,图 6.6,解: 例 4.7 已经分析了相同的级联系统,当时得出的各级差分 方程为: y1
11、n = x1n 0.1x1n-1+0.2x1n-2 y2n = x2n 0.3x2n-1+0.1x2n-2 y3n = x3n 0.4x3n-1,并已将这些差分方程合并整理,得出了级联滤波器的差 分方程。此例中,用传输函数可以更容易地获得相同的 结果。三个滤波器的传输函数分别为:,H1(z) = 1- 0.1z-1 + 0.2z-2 H2(z) = 1+ 0.3z-1 + 0.1z-2 H3(z) = 1+ 0.4z-1,则总的传输函数是它们的积: H(z) = H1(z) H2(z) H3(z) =1 0.2z-1 +0.19z-2 0.058z-3 0.008z-5,例 6.15 求图 6
12、.7 所示滤波器转置直接 2 型实现的传输 函数。,图 6.7,解: 图中所示为两个二阶滤波器的级联组合。用 4.6.2.2 节的 方法,两个滤波器的差分方程为: y1n=-0.1y1n-1+0.5y1n-2+2.5x1n +0.9x1n-1 - 0.4x1n-2 y2n=0.2y1n-1 0.2y2n-2+1.2x2n +0.5x2n-1+0.1x2n-2,将每节的传输函数相乘,可以很容易得出此滤波器的差分 方程: H(z) = H1(z) H2(z),2.5+0.9z-1 0.4z-2 1.2+0.5 z-1 + 0.1z-2 1+0.1z-1 0.5z-2 1 0.2z-1+0.2z-2
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