2019年高中物理第六章第4节万有引力理论的成就讲义含解析新人教版必修220190531222.wps
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1、万有引力理论的成就 一、计算天体的质量 1地球质量的计算 (1)若不考虑地球自转的影响,地面上质量为 m的物体所受的重力等于地球对物体的万有 Mm 引力,即 mgG 。 R2 gR2 (2)地球质量 M ,式中只要知道 G、R、g的值就能计算地球的质量。 G 2其他天体质量的计算 (1)将行星(或卫星)的运动近似看做匀速圆周运动,行星(或卫星)的向心力由万有引力提 供。 Mm v2 42 (2)公式:G m2rm m r。 r2 r T2 42r3 (3)被环绕的太阳或行星的质量:M 。 GT2 说明 Mm 2 42r3 若已知月球绕地球转动的周期 T和半径 r,利用 G m 2r,求出的质量
2、 M r2 (T ) GT2 是地球的质量。做圆周运动的月球的质量 m在等式中已消掉,要想求月球的质量,要考虑绕月 球做圆周运动的卫星的运动规律。 选一选 若已知某行星绕太阳公转的半径为 r,公转周期为 T,引力常量为 G,则由此可求出( ) A该行星的质量 B太阳的质量 C该行星的密度 D太阳的密度 GMm 2 42r3 解析:选 B 设行星的质量为 m,太阳的质量为 M,由 r2 mr(T )2,得 M ,可 GT2 求出太阳的质量,不能求出行星的质量 m和密度 ,因为不知太阳的半径,故不能求出太阳 的密度,B 正确,A、C、D 错误。 二、发现未知天体 1已发现天体的轨道推算 18 世纪
3、,人们观测到太阳系第七个行星天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的 轨道有一些偏差。 2未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道,如海 王星、冥王星就是这样发现的。 说明 海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的意义并不仅仅在于发现了新天体,更重要的是确 立了万有引力定律的地位。 判一判 1牛顿发现万有引力定律,同时测出地球的质量() 2“” 笔尖下发现的行星 是冥王星() 1 1.天体质量的计算 (1)基本思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动,做圆周运动的天体(或卫星)的向心力 等于它与中心天体的万有引力,利用此关系建立方程求中心天体
4、的质量。 (2)计算方法 Mm 42 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T,半径为 r,则由 G m r,得 r2 T2 42r3 M ; GT2 Mm v2 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的线速度 v,则由 G m ,得 r2 r v2r M ; G Mm 2 Mm v2 v3T 已知卫星的线速度 v 和运行周期 T,则由 G mv 和 G m ,得 M ; r2 T r2 r 2G 若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g,根据物体的重力近似等于地球对物体 Mm gR2 的引力得 mgG ,解得地球质量为 M 。 R2 G 2天体密度的计算 M 若 天体的半径为
5、 R,则天体的密度 。 4 R3 3 方法一:利用天体的重力加速度 Mm M 3g 由 mgG 和 ,得 (其中 g 为天体表面的重力加速度)。 R2 4 4GR R3 3 方法二:利用天体的卫星 设卫星绕天体运动的半径为 r,周期为 T,则对卫星而言,万有引力提供向心力, Mm 42 G m r r2 T2 M 3r3 又由 ,代入上式得 4 GT2R3 R3 3 3 当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径 r 等于天体半径 R,则 。 GT2 典型例题 例 1.月球绕地球转动的周期为 T,轨道半径为 r,地球半径为 R,引力常量为 G,请写出 2 地球质量和地球密度的表达式。 GMm 2 解
6、析 对月球由万有引力定律及牛顿第二定律得: m 2r r2 (T ) 42r3 则地球的质量:M GT2 M 3r3 地球的密度: 4 GT2R3 R3 3 答案 见解析 即时巩固 1“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。如图所示,若测得“嫦娥二号” 在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为 T,已知引力常量为 G,半径 4 为 R 的球体体积公式 V R3,则可估算月球的( ) 3 A密度 B质量 C半径 D自转周期 Mm 42 解析:选 A 由万有引力提供向心力有 G m r,由于在月球表面附近轨道有 rR, r2 T2 4 3 由球体体积公式 V R3,联立解得
7、月球的密度 ,A 正确。 3 GT2 1.应用万有引力定律解题的两条思路 (1)万有引力提供天体运动的向心力 Mm v2 42 G m m rm2r。 r2 r T2 (2)黄金代换 Mm 在天体表面上,天体对物 体的万有引力近似等于物体的重力,即G mg,从而得出GMR2g。 R2 2几个常用公式 Mm v2 GM (1)由 G m 可得 v ,r 越大,v 越小。 r2 r r Mm GM (2)由 G m2r 可得 ,r 越大, 越小。 r2 r3 Mm 2 r3 (3)由 Gr2m(T )2r 可得 T2 ,r 越大,T 越大。 GM Mm GM (4)由 G ma 可得 a ,r 越
8、大,a 越小。 r2 r2 M 4 (5)辅助公式: ,V R3。 V 3 典型例题 例 2.(2016巴中高一检测)据报道,天文学家发现了一颗距地球 40“光年的 超级地球”, 3 1 “名为 55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运动周期的 ,母星 的 480 体积约为太阳的 60倍。假设母星与太阳密度相同,“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动, “则 55 Cancri e”与地球的( ) A轨道半径之比约为 3 60 480 B轨道半径之比约为 3 60 4802 C向心加速度之比约为 3 60 4802 D向心加速度之比约为 3 60
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