数字图像处理-4.ppt
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1、第四章 频域图像增强 Image Enhancement in the Frequency Domain,简单灰度变换,空 域 图 像 增 强,基于直方图的灰度变换,直方图均衡,直方图规定化,基于多幅图像的方法,空 域 滤 波,锐化滤波器,平滑滤波器,回顾第三章(空域增强),4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,数学家: 傅立叶,法国人, Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768.3.211830.5.16,其父亲叫 Joseph Fourier, 有12个孩子,傅立叶排行老九,16岁时任Auxerre军事学校的数学教师,27岁时任巴黎高等师范学院(全球19名)教师,
2、30岁跟随Napoleon东征,任governor of Lower Egypt,33岁返回法国,任 prefect of Grenoble,39岁(1807年)发表了关于傅立叶变换的论文,54岁(1822年)撰写著名专著:The Analytic Theory of Heat,去世48年后(1878年)“The Analytic Theory of Heat”被翻译成英语,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,傅立叶级数,(傅立叶变换39岁(1807年)的论文),任何周期(周期为2l)函数均可表示成不同频率的正弦函数和余弦函数的加权和:,其中:,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,傅立叶级数(
3、Fourier Series),(傅立叶39岁时(1807年)的论文),任何周期函数均可表示成不同频率的正弦函数和余弦函数的加权和:,J.W. Gibbs效应,1890,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,傅立叶级数的紧凑(复数)形式,用ei代替cos()和sin(),三角函数,欧拉公式(Eulers formula),指数(复数)函数,令,得傅立叶级数复数形式:,傅立叶级数的两种形式,本质上一样的.但指数形式比较简洁,且只用一个算式计算系数,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,傅立叶变换(Fourier Transform) vs. 傅立叶级数 (Fourier Series),傅立叶级数仅
4、用来表示周期(periodic)函数,而傅立叶变换可以表示非周期(non-periodic)函数,一维傅立叶变换对(Fourier transform pair),From 时域 to 频域,From 频域 to 时域,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,图像(二维离散函数)的傅立叶变换(DFT)对,二维连续函数的傅立叶变换对,二维图像的傅立叶变换(DFT)对,离散化,N是图像的高度,M是图像的宽度,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,图像的频域(频谱)特征,F(u,v)的幅度| F(u,v)|称为频谱,频谱的原点的值F(0,0)等于图像的均值, F(0,0)称为图像直流分量,频域中的频率反映
5、了空间域中图像灰度的变化程度,F(0,0)表示图像的直流(不变化)分量; (u,v)越远离频域中心(0,0), F(u,v)对应的空域的灰度变化就越强烈; 低频对应着图像的平坦区域, 高频对应着图像的剧烈变化区域(边缘或噪声等细节).,图像的边缘方向能在频域中得到反映,一般地,图像的能量集中在低频段,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,低频对应图像平坦区域,高频对应图像边缘或噪声,例如:方波的傅立叶表示,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,图像边缘的方向能在频域中得到体现,4.1 傅立叶变换及图像的频域特征,图像能量集中在低频段, =,图像区域能量,图像所有能量,4.2 傅立叶变换及图像的频域
6、特征,图像的上述频域特征是频域图像增强的直观基础,特别是低频对应图像平坦区域,高频对应图像细节,基本手段:在频域中低通滤波 (频域相乘),输入图像,增强图像,增强图像,4.2 频域平滑滤波器 (Smoothing Frequency-Domain filtes),基本思想,因为图像的边缘和其它灰度变化剧烈的部分对应着频域的高频成分(high-frequency components), 所以可以通过减弱高频成分就可以实现图像的平滑(模糊),频域低通滤波器 的设计方法,4.2 频域平滑滤波器 (Smoothing Frequency-Domain filtes),理想低通滤波器 (Ideal),
7、巴特沃斯滤波器 (Butterworth),高斯滤波器 (Gaussian),低通滤波器,理想低通滤波器传递函数,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),方法:从高频处截断,只保留低频部分,D(u,v)是(u,v)到原点(0,0)的距离,H(u,v)的平面显示,H(u,v)的三维显示,如何选择截止频率 D0?,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),截断频率 (cut-off frequency),举例:选取截止频率D0丢弃高频能量,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),低频能量:,高
8、频能量:,D0,举例:选取截止频率D0保持低频能量,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),1-93.1%=6.9%,1-100%=0%,丢弃高频能量,1-99.2%=0.8%,1-95.7%=4.3%,1-87%=13%,平滑程度和振铃(环)效应的矛盾,The filtered image can have negative values, so scaling normally is required,为什么有振铃效应?,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),观察H(u,v)的空域形式(PSF)可找到直观解释,H(u
9、,v),Frequency Domain,Spatial Domain,h(x),h(x,y),x,y,x,x,为什么有振铃效应?,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),观察H(u,v)的空域形式可找到直观解释,原始图像(黑色背景上有5个脉冲),滤波图像,卷积滤波,怎样才能平滑的同时又没有振铃效应呢?,4.2.1 理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),y,频域传递函数,4.2.2 巴特沃斯低通滤波器 (Butterworth Lowpass Filters),y,低通:距离中心越远,H值越小; 光滑下降沿,空域点扩展函数(图例),
10、4.2.2 巴特沃斯低通滤波器 (Butterworth Lowpass Filters),y,n=1,n=5,n=20,平滑效果不明显,平滑作用大,但ringing 副作用也大,n=2,4.2.2 巴特沃斯低通滤波器 (Butterworth Lowpass Filters),原图像,巴特沃斯低通滤波结果,平滑和振铃之间难以取得平衡,No ringing is visible,巴特沃斯滤波器理论上仍存在些许振铃效应,4.2.3 高斯低通滤波器 (Gaussian Lowpass Filters),是否存在没有(一点也没有)振铃效应的低通滤波器?,高斯(Gaussian)低通滤波器,4.2.3
11、 高斯低通滤波器 (Gaussian Lowpass Filters),高斯(Gaussian)低通滤波器,高斯肖像: 德国纸币10马克(流通最广泛). 美元:乔治华盛顿; 英磅:伊丽莎白二世。,世界三大数学家:高斯(Gauss),牛顿(Newton),阿基米德,数学天才(说话之前就会计 算)和语言天才(问大人字母发音,自己学着读书),22岁获博士学位,24岁发表算术研究, 25岁当选圣彼德堡科学院外籍院士,30岁任哥廷根大学数学教授兼天文台台长,9岁,12+100=5050,爱因斯坦评论说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献(指曲面论),其重要性是超越 一切,
12、无与伦比的。”,科学技术是第一生产力! 邓小平,进一步营造鼓励创新的环境,培养造就世界一流科学家和科技领军人才,使创新智慧竞相迸发、创新人才大量涌现。 胡锦涛,2007.10.15,4.2.3 高斯低通滤波器 (Gaussian Lowpass Filters),高斯(Gaussian)低通滤波器,神奇的高斯函数:,高斯函数的导数还是高斯函数,自然界中很多事件均服从高斯分布.(身高,成绩,噪声),高斯函数的傅立叶变换还是高斯函数,高斯函数的反傅立叶变换还是高斯函数,频域传递函数,4.2.3 高斯低通滤波器 (Gaussian Lowpass Filters),高斯函数的逆傅立叶变换还是高斯函数
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