2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:47 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 Word版含解析.doc
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1、试题为word版 下载可打印编辑课时作业47立体几何中的向量方法第一次作业基础巩固练1(2018全国卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解:(1)证明:由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1
2、,所以PE.又PF1,EF2,故PEPF.可得PH,EH.则H(0,0,0),P(0,0,),D(1,0),(1,),(0,0,)为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为,则sin.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2(2019辽宁五校联考)如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CDAB,BCAB,侧面ABE平面ABCD,且ABAEBE2BC2CD2,动点F在棱AE上,且EFFA.(1)试探究的值,使CE平面BDF,并给予证明;(2)当1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解:(1)当时,CE平面BDF.证明如下:连接AC交BD于点G,连接GF,CDAB,
3、AB2CD,EFFA,GFCE,又CE平面BDF,GF平面BDF,CE平面BDF.(2)取AB的中点O,连接EO,则EOAB,平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB,且EOAB,EO平面ABCD,连接DO,BOCD,且BOCD1,四边形BODC为平行四边形,BCDO,又BCAB,ABOD,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,)当1时,有,F(0,),(1,1,0),(1,1,),(0,)设平面BDF的法向量为n(x
4、,y,z),则有即令z,得y1,x1,则n(1,1,)为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为,则sin|cos,n|,故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.3(2019南昌摸底调研)如图,在四棱锥PABCD中,ABCACD90,BACCAD60,PA平面ABCD,PA2,AB1.设M,N分别为PD,AD的中点(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值解:(1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA.又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD60,CNAN,ACN60.又BAC60,CNAB.CN平面PAB,
5、AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMNN,平面CMN平面PAB.(2)PA平面ABCD,平面PAC平面ACD,又DCAC,平面PAC平面ACDAC,DC平面PAC.如图,以点A为原点,AC所在直线为x轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,A(0,0,0),C(2,0,0),P(0,0,2),D(2,2,0),N(1,0),(1,0),(1,2),设n(x,y,z)是平面PCN的法向量,则即可取n(,1,)又平面PAC的一个法向量为(0,2,0),cos,n,由图可知,二面角NPCA的平面角为锐角,二面角NPCA的平面角的余弦值为.4(2019昆明调研测试)如图,在四棱锥PABCD中,底
6、面ABCD是直角梯形,ADC90,ABCD,AB2CD.平面PAD平面ABCD,PAPD,点E在PC上,DE平面PAC.(1)证明:PA平面PCD;(2)设AD2,若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45,求DE的长解:(1)证明:由DE平面PAC,得DEPA,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CDAD,所以CD平面PAD,所以CDPA,又CDDED,所以PA平面PCD.(2)取AD的中点O,连接PO,因为PAPD,所以POAD,则PO平面ABCD,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,如图由(1)得PAPD,由AD2得PAPD,OP1,设CDa,则P(0,0,1),
7、D(0,1,0),C(a,1,0),B(2a,1,0),则(a,2,0),(a,1,1),设m(x,y,z)为平面PBC的法向量,由得令x2,则ya,z3a,故m(2,a,3a)为平面PBC的一个法向量,由(1)知n(a,0,0)为平面PAD的一个法向量,由|cosm,n|,解得a,即CD,所以在RtPCD中,PC,由等面积法可得DE.5.(2019郑州第一次质量预测)如图,在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,AB6,BC2,AC2,D,E分别为线段AB,BC上的点,且AD2DB,CE2EB,PDAC.(1)求证:PD平面ABC;(2)若直线PA与平面ABC所成的角为,求平面PAC与平面
8、PDE所成的锐二面角解:(1)证明:由题意知AC2,BC2,AB6,AC2BC2AB2,ACB,cosABC.又易知BD2,CD222(2)2222cosABC8,CD2,又AD4,CD2AD2AC2,CDAB.平面PAB平面ABC,CD平面PAB,CDPD,PDAC,ACCDC,PD平面ABC.(2)由(1)知PD,CD,AB两两互相垂直,可建立如图所示的直角坐标系Dxyz,直线PA与平面ABC所成的角为,即PAD,PDAD4,则A(0,4,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),(2,2,0),(2,4,0),(0,4,4)AD2DB,CE2EB,DEAC,由(1)知A
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