2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:57 定点、定值、探究性问题 Word版含解析.doc
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1、试题为word版 下载可打印编辑课时作业57定点、定值、探究性问题第一次作业基础巩固练1已知动圆P经过点N(1,0),并且与圆M:(x1)2y216相切(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点,过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A,B两点,当k为何值时,|GA|2|GB|2是与m无关的定值?并求出该定值解:(1)由题意得|PM|PN|4,点P的轨迹C是以M,N为焦点的椭圆,2a4,2c2,b,椭圆的方程为1.即点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知2m0,p为常数)交于不同的两点M,N,且当k时,弦MN的长为4.(1)求抛物线C
2、的标准方程;(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ过点B(1,1),求证:直线NQ过定点解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),当k时,直线l:y(x),即x2y,联立方程,得即y24pyp20.y1y24p,y1y2p2,于是得|MN|y1y2|2|p|4,因为p0,所以p2,即抛物线C的标准方程为y24x.(2)证明:设点M(4t2,4t),N(4t,4t1),Q(4t,4t2),易得直线MN,MQ,NQ的斜率均存在,则直线MN的斜率是kMN,从而直线MN的方程是y(x4t2)4t,即x(tt1)y4tt10.同理可知MQ的方程是x(tt2)y4tt20,NQ的方程是x(
3、t1t2)y4t1t20.又易知点(1,0)在直线MN上,从而有4tt11,即t,点B(1,1)在直线MQ上,从而有1(tt2)(1)4tt20,即1(t2)(1)4t20,化简得4t1t24(t1t2)1.代入NQ的方程得x(t1t2)y4(t1t2)10.所以直线NQ过定点(1,4)3. 如图,椭圆C:1(ab0)的左顶点与上顶点分别为A,B,右焦点为F,点P在椭圆C上,且PFx轴,若ABOP,且|AB|2. (1)求椭圆C的方程;(2)Q是椭圆C上不同于长轴端点的任意一点,在x轴上是否存在一点D,使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由解:(1)由
4、题意得A(a,0),B(0,b),可设P(c,t)(t0),1,解得t,即P(c,),由ABOP得,即bc,a2b2c22b2,又AB2,a2b212,由得a28,b24,椭圆C的方程为1.(2)假设存在D(m,0)使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值,设Q(x0,y0)(y00),则1,设kQAkQDk(常数),A(2,0),k,由得y4(1),将代入,得k,m2,k,存在点D(2,0),使得kQAkQD.4(2019重庆六校联考)已知定点Q(,0),P为圆N:(x)2y224上任意一点,线段QP的垂直平分线交NP于点M.(1)当P点在圆周上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)若直线l与曲线
5、C交于A,B两点,且0(O为坐标原点),证明直线l与某个定圆相切,并求出定圆的方程解:(1)连接MQ,依题意,可得圆N的圆心N(,0),半径为2,|MP|MQ|,则|MN|MQ|MN|MP|NP|22|NQ|,根据椭圆的定义,得点M的轨迹是以N,Q为焦点,长轴的长为2的椭圆,即2a2,2c2,b.点M的轨迹C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,得消去y并整理得(12k2)x24kmx2m260.由16k2m24(12k2)(2m26)0,得m26k23.由根与系数的关系得x1x2,x1x2,y1y2(kx1
6、m)(kx2m).0,x1x2y1y20,即0,整理得m22k22,满足式,即原点到直线l的距离为,直线l与圆x2y22相切当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为xt(tb0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2y29,求椭圆的长轴的长;(2)当b1时,问在x轴上是否存在定点T,使得为定值?并说明理由解:(1)设AF1的中点为M,连接OM,AF2(O为坐标原点),在AF1F2中,O为F1F2的中点,所以|OM|AF2|(2a|AF1|)a|AF1|.由题意得|OM|3|AF1|,所以a3,故椭圆的长轴的长为6.(2)由
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