江苏省2019高考数学二轮复习专题一三角1.2小题考法_平面向量讲义含解析201905231136.wps

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1、第二讲 小题考法平面向量 考点(一) 平面向量的概念及线性运算 主要考查平面向量的加、减、数乘等线性 运算以及向量共线定理的应用 题组练透 1 2 1设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC，若 DE 1 AB 2 3 2 AC (1，2为实数)，则 12的值为_ 2 1 2 解析：如图， DE BE BD BC BA ( AC 3 2 3 1 1 2 2 AB ) AB 3 ) AC . ( AB 2 2 3 又 DE 1 AB 2 AC ，且 AB 与 AC 不共线 1 2 2 所以 1 ，2 ， 2 3 3 1 所以 12 . 2 1 答案： 2 2.如

2、图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线， BG 2 GO ，设 CD AG ，若 AD 1 AB AC (R R)，则 的值为 _. 5 1 2 1 1 解析：由题意，得 AG AB AO AB AC ， 3 3 3 3 1 CD AD AC AB (1) AC ， 5 1 6 因为 CD AG ，所以 1 ， . 5 5 6 答案： 5 3(2018南京考前模拟)在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90， AB2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点(不包括端点)，若 AC 1 3 AM AN ，则 的最小值为_ 解析：以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴建立直角坐

3、标系如图所示， 1 1 设 B(2,0)，C(1，t)，M( ，t )， 2 N(x0，y0)，因为 N 在线段 BC 上， t 所以 y0 (x02)，即 y0t(2x0)，因为 ，所以Error! AC AM AN 12 即 tty0tt(2x0)，因为 t0， 1 所以 1(2x0)2x02( )，所以 344，这 1 2 里 ， 均为正数， 1 3 1 3 4 9 1 3 所以 4( )(34)( )312 152 27，所以 36 27 4 9 4 2 当且仅当 ，即 ， 时取等号 4 9 3 1 3 27 所以 的最小值为 . 4 27 答案： 4 方法技巧 向量线性运算问题的解题

4、策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形 法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则 (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 (3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法 则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 考点(二) 平面向量的数量积 主要考查数量积的运算、夹角以及模 的计算问题或求参数的值. 题组练透 1已知 e e1，e e2是互相垂直的单位向量若 3e e1e e2与 e e1e e

5、2的夹角为 60，则实数 的值是_ 3e e1e e2e e1e e2 3 解析：因为 ， | 3e e1e e2|e e1e e2| 2 12 2 3 1 3 故 ，解得 . 2 12 2 3 答案： 3 3 2在平行四边形 ABCD 中，AD4，BAD ，E 为 CD 中点，若 AC BE 4，则 3 AB 的长为_ 解 析：法 一： 设| AB |x，则 AC BE ( AB AD )( BC CE )( AB 1 1 1 1 AD 2 ) ) AB AD AB AD AD 2 AB 2 x2x164，解 ( 2 2 2 得 x6 或 x4(舍去)，故 AB 的长为 6. 法 二：以 A

6、 为坐标原点，AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，D(2,2 3)，设 B(2a,0)，则 C(2a2,2 3)，E(a2,2 3)，从 而 AC (2a2 2，3)， BE (2a,2 3)因， 此 AC BE (2a 2)(2a)124，解得 a3 或 a2(舍去)，故 AB 的长为 6. 答案：6 3(2018苏锡常镇调研)在ABC 中，P 是边 AB 的中点，已知| CP | 3，| CA |4 2 ，ACB ，则 CP CA _. 3 解 析：法 一：(基底法) 设| CB |x，由 2 CP CA CB ，两边平方，得 1216x2 1 1 4x，即

7、x2.所以 CP CA ( CA CB ) CA (16 2 2 4)6. 法二：(坐标法)以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，建立如图所示的平面 x2 直角坐标系设 C(0,0)B，(x,0)A，(2,2 3 )则， P( .由| | ，得 x2.所以 ， 3) CP 3 CP 2 CA (0， 3)(2,2 3)6. 答案：6 4(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面四边形 ABCD 中，已 知 AB1，BC4，CD2，DA3，则 AC BD 的值为_ 解析：法一：因为 AB BC CD DA 0，则 AB BC CD DA 3 ，平方得 AB 2 BC 2 CD

8、22( AB BC BC CD CD AB )( DA )2 DA 2，即 AB BC BC CD CD AB 6，则 AC BD ( AB BC )( BC CD ) AB BC BC CD CD AB BC 2 61610. 法二：如图，取 AC 中点 O，连结 BO，DO. 所 以 AC BD AC ( BO OD ) AC BO 1 1 AC OD ( BC BA )( BC BA ) ( DC 2 2 DA 1 1 )( DC DA ) ( BC 2 BA 2 DC 2 DA 2) (16149)10. 2 2 答案：10 方法技巧 平面向量数量积相关问题的求解策略 (1)夹角和模的

9、问题的处理方法，一是转为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是 建立坐标系用坐标公式求解 (2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求 解 a ab b a ab b (3)对于极化恒等式：a ab b( 2 ) 2( 2 ) 2.在ABC 中，若 M 是 BC 的中点，则 AB AC AM 2 MC 2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积从而避开求向量 的夹角. 考点(三) 主要考查与平面向量数量积有关的最值 平面向量的综合问题 范围问题或参数求值问题. 典例感悟 典例 (1)已知向量 a a，b b 满足|a a| 2，|b b|1，且对于一切实数

10、x，|a axb b|a a b b|恒成立，则 a a 与 b b 的夹角大小为_ (2)(2018苏州期末)如图， ABC 为等腰三角形，BAC120A，BAC4，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交 AB，AC 于点 E，F，点 P 是劣弧EF上的一动点，则 PB PC 的取值范围是 _ 解析 (1)法一：将|axb|ab|两边平方可得：22xabx222ab1， 即x22abx2ab10 对于xR R 恒成立4(ab)28ab40，即4(ab 1 2 3 1)20，所以 ab1，即 cos ，所以 a，b 夹角为 . 2 2 4 图法： ，二 令 OA a， AP xb(P 为直线 l

11、 上任意一点)，则 OP a xb，|所a以xb|OP 的最小值即 O 到直线 l 的距离 OH即，OH|ab|即， OH ab 所， 以 b AH . 2 3 在直角三角形 OHA 中，AH1，OA 2，cosHOA ，即HOA ，所以 a，b 夹角为 . 2 4 4 (2)法 一：(几何法) 如 图取，BC的中点M连，结PM， PB PC ( PM MC )( PM MC ) PM 2 MC 2. 因为 MC 为定值，所以 PB PC 的变化可由 PM 的变化确定 易得 AM2，MC2 3. 当 P 为劣弧EF与 AM 的交点时，PM 取最小值 AM11；PM 的最大值为 EMFM 3.

12、所以 PM2MC2的取值范围是11，9，即 PB PC 11，9 法二：(坐标法)以 A 为坐标原点，垂直于 BC 的直线为 x 轴建立如图所 示的平面直角坐标系 xAy，则 B(2，2 3)，C(2,2 3)，设 P(cos ，sin )，其中 . ， 3 3 所以 PB PC (2cos ，sin 2 3)(2cos 2，3sin )(cos 2)2sin21274cos . 5 1 因为 cos ，1 ，所以 11，9 PB PC 2 3 答案 (1) (2)11，9 4 方法技巧 平面向量有关最值(范围)问题求解的 2 种思路 即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围

13、问题，然后 形化 根据平面图形的特征直接进行判断 即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式 数化 的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 演练冲关 1已知| OA | OB | 2，且 OA OB 1.若点 C满足| OA CB |1， 则| OC |的取值范围是_ 解如 ：析 图 ，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则 OD OA OB 因，为| OA | OB | 2， OA OB 1，所以| OD | OA OB | 2 222 由6，| OA CB | 1 得| OA CB | OA OB OC | OD OC | CD |

14、1，所以 点 C在以点 D为圆心1， 为半径的圆上而，| OC |表示点 C到点 O的 距 离从 ，而| OD |1| OC | OD |1，即6 1| OC | 61， 即| OC |的取值范围是 61， 61 答案： 61， 61 2已知 AB为圆 O的直径，M为圆 O的弦 CD上一动点，AB8，CD6，则 MA MB 的取值范围是_ 解析 ：因 为 MA MO OA ， MB MO OB ，又 OB OA ，因此 MA MB MO 2 MO ( OA OB ) OA OB MO 2 OA 2 MO 216.因 为 M是弦 CD上的动点，所以 MOmax4，此时点 M在圆上；MOmin 1

15、69 7，此时点 M为 弦 CD的中点，故 MA MB 9,0 答案：9,0 6 3.如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的距离分别为 1,3. 点 B，C 分别在 m，n 上，| AB AC |5，则 AB AC 的最大值是_ 解 析：设 P 为 BC 的中点，则 AB AC 2 AP ，从而由| AB AC |5 得| AP | 5 25 ，又 AB AC ( AP PB )( AP PC ) AP 2 PB 2 PB 2，因 2 4 25 21 为| BC |2，所以 PB 21，故 AB AC 1 ，当且仅当| BC |2 时等号 4 4 成

16、立 21 答案： 4 必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢 1平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 (1)a ab ba ab b(b b0)x1y2x2y10. (2)a ab ba ab b0x1x2y1y20. 2平面向量的性质 (1)若 a a(x，y)，则|a a| a aa a x2y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB | . x2x12y2y12 a ab b (3)若 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为 a a 与 b b 的夹角，则cos | a a|b b| x1x2y1y2 x2

17、1y21 x2y2 . (4)|a ab b|a a|b b|. (二)二级结论要用好 1三点共线的判定 (1)A，B，C 三点共线 AB ， AC 共线 (2)向量 PA ， PB ， PC 中三终点 A，B，C 共线 存在实数 ， 使得 PA PB PC ，且 1. 针对练 在ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE 与 AC 相交于点 F，若 EF m AB m n AD (m，nR R)，则 _. n 7 解析 ：如 图， AD 2 AE ， EF m AB n AD ， AF AE EF m AB (2n1) AE ， m F，E，B 三点共线，m2n11， 2. n 答案：2

18、 2中点坐标和三角形的重心坐标 x1x2 y1y2 (1)设 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段 P1P2的中点 P 的坐标为 ， . 2 2 (2)三角形的重心坐标公式：设ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3 x1x2x3 y1y2y3 ，y3)，则ABC 的重心坐标是 G( 3 ). ， 3 3“”三角形 四心 向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则 a (1)O 为ABC 的外心 | OA | OB | OC | . 2sin A (2)O 为ABC 的重心

19、OA OB OC 0. (3)O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . (4)O 为ABC 的内心a OA b OB c OC 0. a ab b a ab b 4极化恒等式 a ab b( 2 ) 2( 2 )2 提醒 极化恒等式的使用是最近考查的热点，要有将平面向量数量积用此工具转化的 基本意识 课时达标训练 A组抓牢中档小题 1(2018南京学情调研)设向量 a a(1，4)，b b(1，x)，c ca a3b b.若 a ac c，则 实数 x_. 解析：因为 a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又 ac，所以 43x80，解得 x4. 答案：4 2(

20、2018无锡期末)已知向量 a a(2,1)，b b(1，1)，若 a ab b 与 ma ab b 垂直，则 m 的值为_ 解析：因为 a(2,1)，b(1，1)，所以 ab(1,2)，mab(2m1，m1)，因 8 1 为 ab 与 mab 垂直，所以(ab)(mab)0，即 2m12(m1)0，解得 m . 4 1 答案： 4 3已知 a a 与 b b 是两个不共线向量，且向量 a ab b 与(b b3a a)共线，则 _. 解析：由题意知 abk(b b3a a)， 所以Error!解得Error! 1 答案： 3 4已知|a a|1，|b b| 2，且 a a(a ab b)，则

21、向量 a a 与向量 b b 的夹角为_ 解析：a(ab)，a(ab)a2ab1 2cosa，b0，cosa，b 2 ，a，b . 2 4 答案： 4 5在ABC 中，O 为ABC 的重心，AB2，AC3，A60，则 AO AC _. 2 1 解 析：设 BC 边中点为 D，则 AO AD ， AD ( AB AC )， AO 3 2 AC 1 1 ( AB AC ) AC (32cos 6032)4. 3 3 答案：4 6.如图，在ABC 中，已知BAC ，AB2，AC3， DC 2 BD ， 3 AE 3 ED ，则| BE |_. 3 3 解析： BE BA AE BA AD BA (

22、4 4 AC CD )， 2 2 而 CD CB ( AB AC )， 3 3 1 1 故 BE AB AC ， 2 4 1 从而| BE | 2 1 2 2 4 1 1 9 13 42 3 . 2 2 4 4 答案： 13 4 7已知非零向量 a a，b b 满足|a a|b b|a ab b|，则 a a 与 2a ab b 夹角的余弦值为_ 9 解析：法一：因为非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，所以 a2b2a22abb2 1 1 ，ab a2 b2， 2 2 5 所以 a(2ab)2a2ab a2，|2ab| 2a ab b2 5a a24a ab b 7|a|， 2 5 a a

23、2 a a2a ab b 2 5 5 7 所以 cosa a,2ab . |a a|2a ab b| 2 7 14 |a a| 7|a a| 2 法 二：因为非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，所以a，b ， 3 2 5 所以 a(2ab)2a2ab2a2|a|b|cos a2，|2ab| 2a ab b2 3 2 2 5a a24a ab b 5a a24|a a|b b|cos 7|a|. 3 5 a a2 a a2a ab b 2 5 5 7 所以 cosa,a,2a ab b . |a a|2a ab b| |a a| 7|a a| 2 7 14 5 7 答案： 14 8在边长为

24、2 的菱形 ABCD 中，ABC60，P 是线段 BD 上的任意一点，则 AP AC _. 解析：如图所示，由条件知ABC为正三角形，ACBP，所以 AP AC ( AB BP ) AC AB AC BP AC 1 AB AC | | |cos 6022 2. 2 答案：2 9已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边上 BC，DC 上， BE 2 t BC ， DF m DC ，若 AE AF 1， CE CF ，则 tm_. 3 解析：因为 AE AB BE AB t BC AB t AD ； AF AD DF AD m DC AD m AB ， 所以 AE AF

25、 ( AB t AD )( AD m AB )22tm4t4m1； 2 CE CF 2(1t)(1m)22m2t2tm ， 3 10 5 联立Error!解得 tm . 6 5 答案： 6 10在ABC 中，已知 AB1，AC2，A60，若点 P 满足 AP AB AC ，且 BP CP 1，则实数 的值为_ 解析：由题意可得， AP AB BP AC .又 CP AP AC AB (1) AC ，所以 BP CP AB AC (1)| AC |21，即 (2 1 )41，所以 42310，解得 1 或 . 4 1 答案：1 或 4 11.如图在，平面四边形 ABCD 中O，为 BD 的中点

26、且，OA3O，C5.若 AB AD 7则，BC DC 的值是_ 解析：因为 BC DC ( OC OB )( OC OD )( OC OD )( OC OD )OC2OD2，同理： AB AD AO2OD27，所以 BC DC OC2OD2 OC2AO279. 答案：9 12已知 A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，动点 P 满足 AP BP 2| PC |2，则| AP BP |的最大值为_ 解析：设动点 P(x，y)，因为 A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)， AP BP 2| PC |2， 所以(x，y1)(x，y1)2(x1)2y2，即(x2)2y21. 因为| AP BP

27、 |2 x2y2， 所以| AP BP |表示圆(x2)2y21 上的点到原点距离的 2 倍，所以| AP BP |的最大值为 2(21)6. 答案：6 13已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ( PB PC )的最小值是_ 11 解析： 如图，以等边三角形 ABC的底边 BC所在直线为 x轴，以 BC的垂直平分线为 y轴建立平 面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA (x, 3y)， PB (1x，y)， PC (1x，y)，所以 PA ( PB PC )(x， 3y)( 3 3 3 2x，2y)2x

28、22( 2 ，当 x0，y 时， ( )取得最小值， y PB 2) PA PC 2 2 3 为 . 2 3 答案： 2 14已知在 RtABC中，C90， AB AC 9，SABC6，P为线段 AB上的点 ，且 CP x y ，则 xy的最大值为_ | | 解析：因为C90，所以 AB AC AC 29，所以| AC |3，即 AC3.因 1 x y 为 SABC ACBC6，所以 BC4.又 P为线段 AB上的点，且 CP CA CB ， 2 3 4 x y x y x y 1 3 故 12 ，即 xy3，当且仅当 ，即 x ，y2 时取等号 3 4 3 4 3 4 2 2 答案：3 B组

29、力争难度小题 sin A 1 在 ABC中 ， 若 BC BA 2 AC AB CA CB ， 则 的 值 为 sin C _ 解析：由 BC BA 2 AC AB CA CB ， b2c2a2 a2c2b2 a2b2c2 得 2bc ac ab ， 2bc 2ac 2ab 化简可得 a 2c. sin A a 由正弦定理得， 2. sin C c 答案： 2 12 b b 2已知向量 a a(1， 3)，b b(0，t21)，则当 t 3，2时，| |b b|的取值范 a at 围是_ b b b b 解析：由题意， (0,1)，根据向量的差的几何意义， |b b|表示同起点的向量 t |b

30、 b| | a at b b 的终点到 a 的终点的距离，当 t 3 时，该距离取得最小值 1，当 t 3时，该距离取 |b b| b b 得最大值 13 ，即| |b b|的取值范围是1， a at 13 答案：1， 13 3在直角坐标系 xOy 中，已知三点 A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若 OA OC OB OC ，则 a2b2的最小值为_ 解析：因为 OA OC OB OC 0，所以 BA OC 0， 从而有(a2,1b)(3,4)0，即 3a4b2.则(a，b)可视为直线 l：3x4y2 上 2 2 的动点，设其为 P，则 a2b2为坐标原点 O 到 P 的距离，故|OP

31、|mind(O，l) ， 3242 5 2 4 故(a2b2)min(5 )2 . 25 4 答案： 25 4.如图，已知ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P，交 BC 于点 Q.若| |3， | | AP 5，则( AQ )( AB AC )的值为_ 解析：因为 AP AQ QP ， 所以 AP AQ 2 AQ QP ， 而 AB AC CB ，由于 QP CB ，所以 QP CB 0， 所以( AP AQ )( AB AC )(2 AQ QP ) CB 2 AQ CB ，又 因为 Q 是 BC 的中点，所以 2 AQ AB AC ，故 2 AQ CB ( AB AC )( A

32、B AC ) AB 2 AC 292516. 13 答案：16 5.如图，已知|AC|BC|4，ACB90，M 为 BC 的中点，D 为 以 AC 为直径的圆上一动点，则 AM DC 的最大值是_ 解 析：以 AC 的中点为坐标原点，AC 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系(图略)，则 M( 2,2)，A(2,0)，C(2,0)设 D 点的坐标为(2cos ，2sin )，则 AM (4,2)， DC (22cos ，2sin )，所以 AM DC 4(22cos )2(2sin )8 8cos 4sin 8 80sin()84 5. 答案：84 5 6.如图，已知 AC2，B 为 AC 的

33、中点，分别以 AB，AC 为直径在 AC 的同侧作半圆，M，N 分别为两半圆上的动点(不含端点 A，B，C)，且 BMBN，则 AM CN 的最大值为_ 解析：法一(坐标法)：以 点B为坐标原点，线段AC所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系设NBCMAB，( 2 则)，M(sin 2s，in cos N) (，cos si，n ) 0， A，(1,0)C，(1,0)， AM CN (1sin2，sin cos )(cos 1，sin )(1 sin2)(cos 1) sin2cos cos 1 sin2 cos2 cos 1 1 1 1 ( 2) cos 2 ，当 cos ， 时， AM CN 的最大值为 . 4 2 3 4 法二(定义法)：设NBCMAB，( 2)， 0， AM CN ( BM BA )( BN BC ) BM BC BA BN BA BC BM BA cos 1| BM | BA |sin cos 1| BM |2 1 |AM|1| AM |2| AM |，令| AM |t,0t1， AM CN tt2 0， ，所 ( 4 1 以 AM CN 的最大值为 . 4 1 答案： 4 14 15