江苏省2019高考数学二轮复习专题一三角1.3大题考法_解三角形讲义含解析201905231133.wps
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1、第三讲 大题考法解三角形 题型(一) 主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边 三角变换与解三角形的综合问题 长或角的大小 (或三角函数值),且常与三角恒等变换综 合考查. 典例感悟 例 1 (2018南京学情调研)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 4 B . 5 sin B (1)若 c2a,求 的值; sin C (2)若 CB ,求 sin A 的值 4 4 a2c2b2 4 解 (1)法一(角化边):在ABC 中,因为 cos B ,所以 . 5 2ac 5 c (2 )2c2b2 4 b2 9 因 为 c2a,所以 ,即 , c 5 c2 20 2c
2、2 b 3 5 所以 . c 10 sin B b sin B 3 5 又由正弦定理得, ,所以 . sin C c sin C 10 4 法二(边化角):因为 cos B ,B(0,), 5 3 所以 sin B 1cos2B . 5 因为 c2a,由正弦定理得 sin C2sin A, 6 8 所以 sin C2sin(BC) cos C sin C, 5 5 即sin C2cos C. 2 5 又因为 sin2Ccos2C1,sin C0,解得 sin C , 5 sin B 3 5 所以 . sin C 10 4 7 (2)因为 cos B ,所以 cos 2B2cos2B1 . 5
3、25 1 3 又 0B,所以 sin B 1cos2B , 5 3 4 24 所以 sin 2B2sin Bcos B2 . 5 5 25 因为 CB ,即 CB , 4 4 3 所以 A(BC) 2B, 4 3 所以 sin Asin( 2B) 4 3 3 sin cos 2Bcos sin 2B 4 4 2 7 2 24 25( 2 ) 2 25 31 2 . 50 方法技巧 三角变换与解三角形综合问题求解策略 (1)三角变换与解三角形综合问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定 理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的,其基本步骤是: (2)三角变换与解三
4、角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件,如 ABC, sin(AB)sin C,cos(AB)cos C, 以及在ABC中,AB sin Asin B等 演练冲关 1在ABC中,a,b,c分别为内角 A,B,C的对边,且 bsin 2Ccsin B. (1)求角 C; 3 (2)若 sin(B 3) ,求 sin A的值 5 解:(1)由正弦定理及 bsin 2Ccsin B, 得 2sin Bsin Ccos Csin Csin B, 1 因为 sin B0,sin C0,所以 cos C , 2 又 C(0,),所以 C . 3 2 2 (2)因为 C ,所以 B 0, , 3 ( 3 )
5、 所以 B 3), 3 ( , 3 3 B 又 sin( 3) , 5 4 所以 cos( 3) . B 3) 1sin 2(B 5 2 2 又 AB ,即 A B, 3 3 2 所以 sin Asin( sin sin cos cos sin 3) B) (B 3) 3 (B 3) 3 (B 3 3 3 4 1 3 4 33 . 2 5 2 5 10 4 2在ABC 中,AC6,cos B ,C . 5 4 (1)求 AB 的长; (2)求 cos( 6)的值 A 4 解:(1)因为 cos B ,0B, 5 4 3 所以 sin B 1cos2B 1( . 5 )2 5 AC AB 由正弦
6、定理知 , sin B sin C 2 6 ACsin C 2 所以 AB 5 2. sin B 3 5 (2)在ABC 中,ABC, 所以 A(BC), 于是 cos Acos(BC)cos( 4 ) B cos Bcos sin Bsin . 4 4 4 3 又 cos B ,sin B , 5 5 4 2 3 2 2 故 cos A . 5 2 5 2 10 7 2 因为 0A,所以 sin A 1cos2A . 10 3 因此,cos( 6)cos Acos sin Asin A 6 2 3 7 2 1 7 2 6 . 10 2 10 2 20 6 题型(二) 解三角形与平面向量结合
7、主要考查以平面向量的线性运算和数 量积为背景的解三角形问题. 典例感悟 例 2 (2018盐城模拟)设ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且ABC 面 积的大小为 S,3 AB AC 2S. (1)求 sin A 的值; (2)若 C , AB AC 16,求 b. 4 解 (1)由 3 AB AC 2S, 1 得 3bccos A2 bcsin A,即 sin A3cos A. 2 整理化简得 sin2A9cos2A9(1sin2A), 9 所以 sin2A . 10 3 10 又 A(0,),所以 sin A0,故 sin A . 10 3 10 (2)由 sin A3c
8、os A 和 sin A , 10 10 得 cos A , 10 又 AB AC 16,所以 bccos A16, 得 bc16 10. 又 C , 4 3 10 2 10 2 2 5 所以 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C . 10 2 10 2 5 b c 在ABC 中,由正弦定理 , sin B sin C 4 b c 10 得 ,即 c b. 2 5 4 2 5 2 联立得 b8. 方法技巧 解三角形与平面向量综合问题的求解策略 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化 成三角函数问题 (2)三角形中的三角函数要结
9、合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过 程的影响 演练冲关 1(2018南通三调)已知ABC 是锐角三角形,向量 m m( 3),n n cos(A 3),sin(A (cos B,sin B),且 m mn n. (1)求 AB 的值; 3 (2)若 cos B ,AC8,求 BC 的长 5 解:(1)因为 mn, 所以 mncos( cos Bsin 3)sin B A 3) (A cos( 0, A B) 3 5 又 A,B( ,所以 A B , 0, 6 ) 2) 3 ( , 6 所以 A B ,即 AB . 3 2 6 3 4 (2)因为 cos B5,B(0, 2),所
10、以 sin B . 5 所以 sin Asin( 6)sin Bcos cos Bsin B 6 6 4 3 3 1 4 33 . 5 2 5 2 10 4 33 sin A 10 由正弦定理,得 BC AC 84 33. sin B 4 5 2已知ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m m(1,2),n n A ( 2) cos 2A,cos2 ,且 m mn n1. 5 (1)求角 A的大小; (2)若 bc2a2 3 ,求 sin( 4)的值 B 解:(1)由题意得 mn2cos2A1cos A12cos2Acos A1, 1 解得 cos A 或 cos
11、A1,0A. 2 A . 3 (2)在ABC中 a2b2c22bccos A且 a 3, 1 得 3b2c22bc b2c2bc, 2 又 bc2a2 3,b2 3c,代入整理得 c22 3c30,解得 c 3,b 3, 于是 abc 3,即ABC为等边三角形,B . 3 sin( sin 4 ) B 4) ( 3 6 2 sin cos cos sin . 3 4 3 4 4 题型(三) 此类问题的本质还是主要考查利用正、余 以平面图形为背景的解三角形问题 弦定理求解三角形或多边形的边长、角度和 面积的问题. 典例感悟 例 3 (2018南通调研)如图,在ABC中,角 A,B,C的对边分 别
12、为 a,b,c,ab(sin Ccos C) (1)求ABC; (2)若A ,D为ABC外一点,DB2,DC1,求四边形 ABDC面 2 积的最大值 解 (1)在ABC中,因为 ab(sin Ccos C), 所以 sin Asin B(sin Ccos C), 所以 sin(BC)sin B(sin Ccos C), 所以 sin Bcos Ccos Bsin Csin Bsin Csin Bcos C, 所以 cos Bsin Csin Bsin C, 又因为 C(0,),故 sin C0, 6 所以 cos Bsin B,即 tan B1. 又 B(0,),所以 B . 4 (2)在BC
13、D中,DB2,DC1, BC21222212cos D54cos D. 又 A ,由(1)可知ABC , 2 4 所以ABC为等腰直角三角形, 1 1 1 5 SABC BC BC BC2 cos D, 2 2 4 4 1 又 SBDC BDDCsin Dsin D, 2 5 5 所以 S四边形 ABDC cos Dsin D sin 4). 2 (D 4 4 3 5 所以当 D 时,四边形 ABDC的面积有最大值,最大值为 2. 4 4 方法技巧 以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路 在平面几何图形中求相关的几何量时,需寻找各个三角形之间的联系,交叉 建联系 使用公共条件,通过公共条件形
14、成等式,常常将所涉及的已知几何量与所求 几何量集中到某一个三角形 “”“” 已知两角和一边 或 已知两边和其中一边的对角 应采用正弦定理; 用定理 “”“” 已知两边和这两边的夹角 或 已知三角形的三边 应采用余弦定理 演练冲关 1(2018苏北三市模拟)如图,在平面四边形 ABCD中,DAABD,E 2 1,EC 7,EA2,ADC ,且CBE,BEC,BCE成等差数列 3 (1)求 sinCED; (2)求 BE的长 解:设CED. 因为CBE,BEC,BCE成等差数列, 所以 2BECCBEBCE, 又CBEBECBCE, 所以BEC . 3 7 (1)在CDE 中, 由余弦定理得 EC
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