江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.1小题考法_立体几何中的计算讲义含解析2019052.wps
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1、专题二 立体几何 江苏卷 5 年考情分析 小题考情分析 大题考情分析 空间几何体的表面积与体积(5 年 3 本专题在高考大题中的考查非 常考点 考) 常稳定,主要是线线、线面、面面的 平行与垂直关系的证明,一般第(1) 偶考点 简单几何体与球的切接问题 问是线面平行的证明,第(2)问是线 线垂直或面面垂直的证明,考查形式 单一,难度一般. 第一讲 小题考法立体几何中的计算 考点(一) 空间几何体的表面积与体积 主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面 积与体积. 题组练透 1现有一个底面半径为 3 cm,母线长为 5cm 的圆锥状实心铁器,将其高温熔化后铸成 一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的
2、半径为_cm. 解析:因为圆锥底面半径为 3 cm,母线长为 5 cm,所以圆锥的高为 52324 cm,其 1 4 体积为 32412 cm3,设铁球的半径为 r,则 r312,所以该铁球的半径是 3 9 3 3 cm. 答案:3 9 2(2018苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形,侧面对角线的长为 2 3 ,则该直四棱柱的侧面积为_ 解析:由题意得,直四棱柱的侧棱长为 2 32222 2,所以该直四棱柱的侧面积 为 Scl422 216 2. 答案:16 2 3.(2018江苏高考)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心 为顶点的多面体的体积为_ 解析:由题意知所给
3、的几何体是棱长均为 2 的八面体,它是由两个有公 1 共 底面的正四棱锥组合而成的正,四棱锥的高为 1 所,以这个八面体的体积为 2V正四棱锥2 ( 3 4 2)21 . 3 1 4 答案: 3 4(2018南通、泰州一调)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正 六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体已知正六棱柱的底面边长、高都 为 4 cm,圆柱的底面积为 9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm的正三棱柱零件,则 该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗) 3 解析:由题意知,熔化 前后的体积相等,熔化前的体积为 6 4249 3460 3 4 3 cm3,设所求正三棱柱的底面边长为 x
4、cm,则有 x2660 3,解得 x2 10,所以所求边 4 长为 2 10 cm. 答案:2 10 5设甲,乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧面积相等 V1 3 S1 且 ,则 的值是_ V2 2 S2 解析:设甲,乙两个圆柱的底面半径分别为 r1,r2,高分别为 h1,h2,则有 2r1h12r2h2, 即 r1h1r2h2, V1 r21h1 V1 r1 r1 3 又 , , , V2 r2h2 V2 r2 r2 2 S1 r21 9 则 . S2 r 4 2 9 答案: 4 方法技巧 求几何体的表面积及体积的解题技巧 (1)求几何体的表面积及体积问
5、题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在 求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体 的某一面上 (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何 体以易于求解 考点(二) 简单几何体与球的切接问题 2 主要考查简单几何体与球切接时的表面积、 体积的计算问题,以及将空间几何体的问题 转化为平面几何图形的关系的能力. 题组练透 1(2017江苏高考)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、 V1 下底面 及线母均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是 V2 _ 解析:设球 O
6、 的半径为 R,因为球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均 V1 R22R 3 相切,所以圆柱的底面半径为 R、高为 2R,所以 . V2 4 2 R3 3 3 答案: 2 2(2018无锡期末)直三棱柱 ABCA1B1C1中,已知 ABBC,AB3,BC4,BB15, 若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_ 解析:根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以 BA,BC,BB1为棱的长方体的外接球, 5 2 设其半径为 R,则 2R BA2BC2BB21 324252,得 R ,故该球的表面积为 S4R2 2 50. 答案:50 3已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球
7、O 的球面上,且 AB3,BC 3,过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD,交球 O 于点 E,则棱锥 EABCD 的体积为_ 解析:如图所示,BE 过球心 O, BE4,BD 32 322 3, DE 422 322, 1 VEABCD 3 22 . 3 3 3 答案:2 3 4(2018全国卷改编)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9 3,则三棱锥 DABC 体积的最大值为_. 3 解析:由等边ABC 的面积为 9 3,可得 AB29 3,所以 AB6,所以等边ABC 的外 4 3 接圆的半径为 r AB2 3.设球的半径为 R,球
8、心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d, 3 则 d R2r2 16122.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246,所以三棱锥 DABC 3 1 体积的最大值为 9 3618 3. 3 答案:18 3 方法技巧 简单几何体与球切接问题的解题技巧 方法 解读 适合题型 解答时首先要找准切点,通过 作截面来解决如果内切的是 截面法 球内切多面体或旋转体 多面体,则作截面时主要抓住 多面体过球心的对角面来作 首先确定球心位置,借助外接 的性质球心到多面体的顶 构造 点的距离等于球的半径,寻求 直角 球心到底面中心的距离、半径、 正棱锥、正棱柱的外接球 三角 顶点到底面中心的距离构造成 形法 直
9、角三角形,利用勾股定理求 半径 因正方体、长方体的外接球半 三条侧棱两两垂直的三棱锥, 径易求得,故将一些特殊的几 从正方体或长方体的八个顶点 补形法 何体补形为正方体或长方体, 中选取点作为顶点组成的三棱 便可借助外接球为同一个的特 锥、四棱锥等 点求解 考点(三) 主要考查空间图形与平面图形之间的转化, 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 面积、体积以及最值 问题的求解. 典例感悟 典例 (1)如图,正ABC的边长为 2,CD是 AB边上的高,E,F分别为边 AC与 BC的 中点,现将ABC沿 CD翻折,使平面 ADC平面 DCB,则三棱锥 EDFC的体积为_ 4 (2)如图,直三棱柱 A
10、BCA1B1C1中,AB1,BC2,AC 5,AA13,M 为线段 BB1上 的一动点,则当 AMMC1最小时,AMC1的面积为_ 1 1 3 3 1 1 解析 (1)SDFC SABC4( 2 2) ,E 到平面 DFC 的距离 h 等于 AD , 4 4 4 2 2 1 3 VEDFC SDFCh . 3 24 (2)将侧面展开后可得:本题 AMMC1最小可以等价为在矩形 ACC1A1中求 AMMC1的最小值 如图,当 A,M,C1三点共线时,AMMC1最小 又 ABBC12,AB1,BC2,CC13, 所以 AM 2,MC12 2,又 AC1 95 14, AM2C1M2AC21 281
11、4 1 所以 cosAMC1 , 2AMC1M 2 2 2 2 2 3 所以 sinAMC1 , 2 1 3 故三角形面积为 S 22 2 3. 2 2 3 答案 (1) (2) 24 3 方法技巧 解决翻折问题需要把握的两个关键点 (1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量一般情况下,折 “”线同一侧的线段的长度是不变量,位置关系可能会发生变化,抓住两个 不变性 与折线垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变; 与折线平行的线段,翻折前后平行关系不改变 (2)解决问题时,要综合考虑翻折前后的图形,既要分析翻折后的图形,也要分析翻折 前的图形 5 演练冲关 1有一根长为 6 cm
12、,底面半径为 0.5 cm的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈 ,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为_cm. 解析:由题意作出图形如图所示, 则铁丝的长度至少为 6242 361622 942. 答案:2 942 2(2018南京、盐城、连云港二模)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰 三角形(如图中阴影部分),折叠成底面边长为 2 的正四棱锥 SEFGH(如图),则正四棱 锥 SEFGH 的体积为_ 解析:连结 EG,HF,交点为 O(图略),正方形 EFGH 的对角线 EG2,EO1,则点 E 到 线段 AB 的距离为 1,EB 122
13、2 5,SO SE2OE2 512,故正四棱锥 SEFGH 的体 1 4 积为 ( 2)22 . 3 3 4 答案: 3 3如图所示,平面四边形 ABCD 中,ABADCD1,BD 2,BDCD,将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上,则该球 的体积为_ 解析:如图,取 BD 的中点 E,BC 的中点 O,连接 AE,OD,EO,AO.因 为 ABAD,所以 AEBD. 由于平面 ABD平面 BCD,所以 AE平面 BCD. 6 2 1 3 因为 ABADCD1,BD 2,所以 AE ,EO .所以 OA . 2 2 2
14、1 3 在 RtBDC中,OBOCOD BC ,所以四面体 ABCD的外接球的球心为 O,半径为 2 2 3 . 2 4 3 3 所以该球的体积 V 3 . 3 (2 ) 2 答案: 3 2 必备知能自主补缺 (一) 主干知识要牢记 1空间几何体的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 S直棱柱侧ch 直棱柱 c为底面周长 h为高 1 S正棱锥侧 ch 2 c为底面周长 正棱锥 h为斜高 即侧面等腰三角形的高 1 S正棱台侧 (cc)h 2 c为上底面周长 正棱台 c为下底面周长 h为斜高,即侧面等腰梯形的高 S圆柱侧2rl 圆柱 r为底面半径 l为侧面母线长 S圆锥侧rl 圆
15、锥 r为底面半径 l为侧面母线长 7 S圆台侧(r1r2)l r1 为上底面半径 圆台 r2为下底面半径 l为侧面母线长 2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体Sh(S为底面面积,h为高); 1 (2)V锥体 Sh(S为底面面积,h为高); 3 1 (3)V台 (S S)h(不要求记忆) SS 3 3球的表面积和体积公式: (1)S球4R2(R为球的半径); 4 (2)V球 R3(R为球的半径) 3 4立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题,都可以转化为平面几何中 两点距离最短 (二) 二级结论要用好 1长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系 d2a2b2c2;若长方体外
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