江苏省2019高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.1计数原理与二项式定理达标训练含解析.wps
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1、计数原理与二项式定理 A 组大题保分练 1设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集 (1)若 Ma1,a2,a3,a4,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 Ma1,a2,a3,an,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数 解:(1)110. (2)集合 M 有 2n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2n(2n1)个 当 AB,并设 B 中含有 k(1kn,kN N*)个元素, n n n 则满足 AB 的有序集合对(A,B)有 Ckn(2k1) Ckn2k Ckn3n2n 个 k1 k0 k0 同理,满足
2、 BA 的有序集合对(A,B)有 3n2n 个 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2n(2n1)2(3n2n)4n2n23n. 2记 1,2,n 满足下列性质 T 的排列 a1,a2,an 的个数为 f(n)(n2,nN N*)性 质 T:排列 a1,a2,an 中有且只有一个 aiai1(i1,2,n1) (1)求 f(3); (2)求 f(n) 解:(1)当 n3 时,1,2,3 的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个 i1,2,3,使得 aiai1的排列有(1,3,2), (2,1,3),(
3、2,3,1),(3,1,2),所以 f(3)4. (2)在 1,2,n 的所有排列(a1,a2,an)中, 若 ain(1in1),从 n1 个数 1,2,3,n1 中选 i1 个数按从小到大的顺 序排列为 a1,a2,ai1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列 个数为 Ci . n1 若 ann,则满足题意的排列个数为 f(n1) n1 综上,f(n)f(n1) f(n1)2n11. Cni1 i1 2312n3 从而 f(n) (n3)f(3)2nn1. 12 3(2018南京、盐城一模)已知 nN N*,nf(n)C0nC1n2C1nC2nrCrn 1CrnnCnn
4、1 Cn. (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)试猜想 f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想 解:(1)由条件,nf(n)C0nC1n2C1nC2nrCrn 1CrnnCnn 1C , n 1 在中令 n1,得 f(1)C01C 1. 1 在中令 n2,得 2f(2)C02C122C12C 6,得 f(2)3. 2 在中令 n3,得 3f(3)C03C132C13C233C23C330,得 f(3)10. (2)猜想 f(n)C2nn1(或 f(n)C2nn 11) 欲证猜想成立,只要证等式 nC2nn1C0nC1n2C1nC2nrCrn 1CrnnCnn 1C
5、 成立 n 法一:(直接法)当 n1 时,等式显然成立 r n! n! 当 n2 时,因为 rCrn r!nr! r1!nr! n1! n nC , r r1!nr! 故 rCrn 1Crn(rCrn)Crn 1nCr C . n1 rn 1 故只需证明 nC2nn1nCn01C0nnCn11C1nnCr C nC C . n1 rn 1 n1 nn 1 即证 C2nn1Cn01C0n Cn11C1n Cr C C C . n1 rn 1 n1 nn 1 而 Crn 1Cnrn1,故即证 C2nn1Cn01C C C C C C C . n n1 1 nn 1 rn1 nrn1 n1 n1 由
6、等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n 可得,左边 xn 的系数为 C2nn1. 而右边(1x)n1(1x)n(Cn01Cn11xCn21x2Cn1xn1)(C0nC1nxC2nx2 Cnxn), 所以 xn 的系数为 Cn01C C C Cn1Cnrn1 Cn1C1n. n n1 1 nn 1 r 由(1x)2n1(1x)n1(1x)n 恒成立可得成立 综上,f(n)C 2nn1成立 法二:(构造模型)构造一个组合模型,一个袋中装有(2n1)个小球,其中 n 个是编号 为 1,2,n 的白球,其余(n1)个是编号为 1,2,n1 的黑球现从袋中任意摸出 n 个小球,一方面,由分步计数原理其
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