江苏省2019高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.2数学归纳法达标训练含解析20190.wps
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1、数学归纳法 A 组大题保分练 cxd 1(2018南通三模)已知函数 f0(x) (a0,bcad0)设 fn(x)为 fn1(x)的 axb 导数,nN N*. (1)求 f1(x),f2(x); (2)猜想 fn(x)的表达式,并证明你的结论 cxd bcad 解:(1)f1(x)f0(x)(axb) , axb2 bcad 2abcad f2(x)f1(x)axb2 . axb3 1n1an1bcadn! (2)猜想 fn(x) ,nN N*. axbn1 证明:当 n1 时,由(1)知结论成立, 假设当 nk(kN N*且 k1)时结论成立, 1k1ak1bcadk! 即有 fk(x)
2、 . axbk1 当 nk1 时, fk1(x)fk(x) 1k1ak1bcadk! axbk1 (1)k1ak1(bcad)k!(axb)(k1) 1kakbcadk1! . axbk2 所以当 nk1 时结论成立 由得,对一切 nN N*结论都成立 2(2018镇江模拟)证明:对一切正整数 n,5n23n11 都能被 8 整除 证明:(1)当 n1 时,原式等于 8,能被 8 整除; (2)假设当 nk(k1,kN N*)时,结论成立, 即 5k23k11 能被 8 整除 设 5k23k118m,mN N*, 当 nk1 时, 5k123k1 5(5k23k11)43k14 5(5k23k
3、11)4(3k11), 而当 k1,kN N*时,3k11 显然为偶数,设为 2t,tN N*, 故 5k123k15(5k23k11)4(3k11)40m8t(m,tN N*),也能被 8 整 1 除, 故当 nk1 时结论也成立; 由(1)(2)可知,对一切正整数 n,5n23n11 都能被 8 整除 1 1 1 n 3已知 Sn1 (n2,nN N*),求证:S2n1 (n2,nN N*) 2 3 n 2 1 1 1 25 2 证明:(1)当 n2 时,S2nS41 1 ,即 n2 时命题成立; 2 3 4 12 2 (2)假设当 nk(k2,kN N*)时命题成立, 1 1 1 k 即
4、 S2k1 1 , 2 3 2k 2 则当 nk1 时, 1 1 1 1 1 S2k11 2 3 2k 2k1 2k1 k 1 1 1 1 2 2k1 2k2 2k1 k 2k 1 2 2k2k k 1 k1 1 1 , 2 2 2 故当 nk1 时,命题成立 n 由(1)和(2)可知,对 n2,nN N*不等式 S2n1 都成立 2 1 1 4(2018常州期末)记(x1)( (n2 且 nN N*)的展开式中含 x 项 x 2 ) (xn ) 的系数为 Sn,含 x2项的系数为 Tn. (1)求 Sn; Tn (2)若 an2bnc,对 n2,3,4 成立,求实数 a,b,c 的值; Sn
5、 Tn (3)对(2)中的实数 a,b,c,用数学归纳法证明:对任意 n2 且 nN N*, an2bnc Sn 都成立 1 1 解:(1)因为(x1)(x2 )(xn ) 1 (1x)(12x)(1nx) n! 1 1(12n)xn!xn, n! 2 n1 12n 2 所以 Sn . n! n1! T2 2 T3 11 T4 7 (2)由题意及(1)可知 , , , S2 3 S3 6 S4 2 Tn 又 an2bnc, Sn 1 1 1 则Error!解得 a ,b ,c . 4 12 6 (3)证明:当 n2 时,由(2)知等式成立 假设当 nk(kN N*,且 k2)时,等式成立, T
6、k 1 1 1 即 k2 k . Sk 4 12 6 当 nk1 时,由 1 1 1 f(x)(x1)( k1) x2 ) (x k )(x 1 1 1 x1( k1) x2 ) x ( k ) (x 1 1 ( k1)知 SkxTkx2xk)(x k! 1 Tk1Sk Tk k1 k1 2 1 1 1 1 k1! 6), 1 k2 k1( k 4 12 k1 2 1 1 1 1 k1! k1( k 2 6) 1 k Tk1 4 12 所以 Sk1 k11 2 k! k 3k2k2 k3k5 k2( 12 ) . k1 12 1 1 1 k3k5 又 (k1)2 (k1) 上式, 4 12 6
7、 12 Tk1 1 1 1 即等式 (k1)2 (k1) 也成立 Sk1 4 12 6 Tn 综上可得,对任意 n2 且 nN N*,都有 an2bnc 成立 Sn B 组大题增分练 1(2018南通、泰州一调)用数学归纳法证明:当 xN N*时,cos xcos 2xcos 3x 3 1 sin( 2 )x n 1 cos nx (xR R,且 x2k,kZ Z) 1 2 2sin x 2 证明:当 n1 时, 1 sin(1 2 )x 1 等式右边 1 2 2sin x 2 1 1 sin( 2 )xsin( 2 )x 1 1 1 2sin x 2 1 1 1 1 ( x)( x) sin
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