江苏省2019高考数学二轮复习专题四数列4.2大题考法_等差等比数列的综合问题达标训练含解析2019.wps
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1、等差、等比数列的综合问题 A 组大题保分练 1(2018苏州期中)已知等比数列an的公比 q1,满足:a2a3a428,且 a32 是 a2,a4的等差中项 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnanlog1 an,Snb1b2bn,求使 Snn2n162成立的正整数 n 的最 2 小值 解:(1)a32 是 a2,a4的等差中项, 2(a32)a2a4, 代入 a2a3a428,可得 a38, a2a420, Error! 解得Error!或Error! q1,Error!数列an的通项公式为 an2n. (2)bnanlog 1 an2 nlog1 2nn2n, 2 2 Sn(122
2、22n2n), 2Sn(122223(n1)2nn2n1), 得 Sn222232nn2n1 212n n2n12n12n2n1. 12 Snn2n162,2n1262, n16,n5, 使 Snn2n162 成立的正整数 n 的最小值为 6. 2已知数列an,bn均为各项都不相等的数列,Sn 为an的前 n 项和,an1bnSn1(n N N*) n (1)若 a11,bn ,求 a4的值; 2 (2)若an是公比为 q 的等比数列,求证:存在实数 ,使得bn为等比数列 n 解:(1)由 a11,bn ,知 a24,a36,a48. 2 (2)证明:因为 an1bnSn1, 所以当 n2 时
3、,anbn1Sn11, 得,an1bnanbn1an, 1 an an 1 1 由得,bn bn1 bn1 , an1 an1 q q 1 1 1 所以 bn q( . bn1 1q 1q) 1 又 bn 0(否则bn为常数数列,与题意不符), 1q 1 所以存在实数 ,使得bn为等比数列 1q 3在数列an,bn中,已知 a12,b14,且 an,bn,an1成等差数列,bn, an,bn1也成等差数列 (1)求证:anbn是等比数列; anm am4 (2)设 m 是不超过 100的正整数,求使 成立的所有数对(m,n) an1m am14 解:(1)证明:由 an,bn,an1成等差数列
4、可得,2bnanan1, 由 bn,an,bn1成等差数列可得,2anbnbn1, 得,an1bn13(anbn), 又 a1b16, 所以anbn是以 6 为首项,3 为公比的等比数列 (2)由(1)知,anbn6(3)n1, 得,an1bn1anbn2, 6 3n12 得,an 3(3)n11, 2 anm am4 代入 , an1m am14 3 3n11m 3 3m13 得 , 3 3n1m 3 3m3 所以3(3)n11m3(3)m3 3(3)n1m3(3)m13, 整理得,(m1)(3)m3(3)n0, 所以 m1(3)nm1, 由 m 是不超过 100 的正整数, 可得 2(3)
5、nm1101, 所以 nm12 或 4, 当 nm12 时,m19,此时 m8,则 n9,符合题意; 当 nm14 时,m181,此时 m80,则 n83,符合题意 anm am4 故使 成立的所有数对(m,n)为(8,9),(80,83) an1m am14 2 Sn 4已知数列an的前 n 项和为 Sn,数列bn,cn满足(n1)bnan1 ,(n2)cn n an1an2 Sn ,其中 nN N*. 2 n (1)若数列an是公差为 2 的等差数列,求数列cn的通项公式; (2)若存在实数 ,使得对一切 nN N*,有 bncn,求证:数列an是等差数列 解:(1)因为数列an是公差为
6、2 的等差数列, Sn 所以 ana12(n1), a1n1. n a12na12n1 因为(n2)cn (a1n1)n2,所以 cn1. 2 Sn (2)证明:由(n1)bnan1 , n 得 n(n1)bnnan1Sn, (n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1, 两式相减,并化简得 an2an1(n2)bn1nbn. an1an2 Sn an1an2 an2an1 从而(n2)cn an 1(n1)bn (n 2 n 2 2 n2bn1nbn n2 1)bn (n1)bn (bnbn1), 2 2 1 因此 cn (bnbn1) 2 因为对一切 nN N*,有 bncn, 1 所以 c
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