高阶微分方程方程组.ppt
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1、高阶微分方程与方程组,教学要求(基本理论与方法) 一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At) 的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解,齐次/非齐次 线性方程组解的性质和通解结构 解的性质(叠加原理); 解的线性相关/无关性及判别 (Wronsky行列式) 齐次与非齐次 通解结构(基本解组) 基解矩阵及其性质、常数变易公式,基本概念:线性、齐次与非齐次、解(特解与通解)、初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示: 向
2、量(矩阵)函数及微积分、范数、向量序列与级数,高阶线性方程与方程组的基本概念与理论(与对比),矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数exp A 的定义与性质 基解矩阵表示 基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值(向量)关系 特征值(向量)方法 若当块方法 递推公式方法,高阶(线性)微分方程的求解 常系数齐次线性方程(欧拉方程)的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶(线性)方程的降解法 *(了解) 二阶方程的幂级数法 (Bessel方程),常系数齐次线性微分方程的通解-特征根法,基本解组,复解实值转化,欧拉方程的基本解组-变换,特征方程,基本解组,非齐次常系数
3、线性方程的特解-比较系数法,类型,类型II,特解,特解,待定特解中的系数,将特解代入方程,比较方程两端 求出系数,从而得到特解(待定系数法!),n-k阶方程,n-1阶方程,n-1阶方程 并反复k次, 得n-k阶方程,一般高阶方程-降阶法,二阶线性方程(已知非零解求另一非线性无关解),为齐次方程的基本解组,则通解:,求一般非齐次线性方程的特解-常数变易法,假设非齐次的某特解:,幂级数解法 Bssel 方程的通解公式和Bessel函数,二阶线性方程-幂级数解法*,齐次: 基本解组 非齐次: 特解 常系数齐次:特征根法 常系数非齐次:比较系数法、常数变易法、降阶法 幂级数法*、分解法 变系数方程(非
4、齐次):降阶法、幂级数法*,1 计算特征值,n个无关的特征向量;,(I) n个线性无关特征向量情形,2 求解基解矩阵,求标准基解矩阵(实);,(2)求解子空间Uj并分解:,(1)求A的特征值、特征向量,(3),仅一个特征值利用 公式(5.53);,(4),(II)基解矩阵的计算方法-递推法,利用递推法计算基解矩阵,结论,其中,是下列初值问题的解,(III) 基解矩阵的计算方法-递推法,练习,3.7 稳定性问题,在研究许多实际问题时,人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态,而是系统最终的发展趋势。例如,在研究某频危种群时,虽然我们也想了解它当前或今后的数量,但我们更为关心的却是它最终是否
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