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1、第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,时域分析法(Time Domain Analysis Method) 系统动态过程的时间响应反映出系统多方面的性能特征 直接在时间域中对系统进行分析,直观、准确,提供系统时间响应的全部信息,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 主要内容,系统的动态性能分析 典型输入信号 性能指标 一、二阶系统时间响应 系统动态性能改善 高阶系统时域分析方法 系统的稳定性分析与判据 系统的稳态性能分析 控制系统时域分析的MATLAB方法,第三章 线性系统的时域分析法,例如:,典型输入信号,根据系统常遇到的输入信号形式,在数学描述上加以理想化的一些基本输
2、入函数,第三章 线性系统的时域分析法,例如:油电混合动力汽车模型,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,常用典型输入信号函数:,单位阶跃函数,单位速度函数,单位加速度函数,单位脉冲函数,正弦函数,第三章 线性系统的时域分析法,常用典型输入信号对应的特解(输入模态/受迫运动形式(t 0),第三章 线性系统的时域分析法,R1(t) 工作状态突然改变或突然受恒定输入作用的控制系统,例如温度调节系统、水位调节系统等,典型输入信号举例阶跃信号,第三章 线性系统的时域分析法,t 输入信号随时间逐渐变化的控制系统,例如天线控制系统等,典型输入信号斜坡信号(
3、速度信号),第三章 线性系统的时域分析法,t2可用来近似宇宙飞船、火箭等发射阶段控制系统的输入信号,输入信号举例加速度信号(抛物线信号),第三章 线性系统的时域分析法,R(t) 模拟系统受到的冲击输入量、短暂的扰动等,典型输入信号举例脉冲信号,第三章 线性系统的时域分析法,例如Asint系统受到具有周期变化规律的输入信号的场合,典型输入信号举例正弦信号,第三章 线性系统的时域分析法,例如:飞机的受力分析(复杂系统建模),推进力,大气,风,重力,环境,第三章 线性系统的时域分析法,在统一的基准上对不同控制系统的特性进行比较和研究。 工程上一般认为阶跃输入对系统是最严峻的工作状态。,这里常用的典型
4、输入单位阶跃信号,第三章 线性系统的时域分析法,稳态过程(平衡过程,静态过程):表征系统输出最终跟踪输入的程度,提供系统稳态误差的信息,反映系统稳态性能。,稳态 过程,稳态 过程,系统响应的动态过程和稳态过程,动态过程(或过渡过程、瞬态过程、暂态过程):系统在输入信号作用下,输出量从初始状态到另一个平衡状态的响应过程,可提供系统稳定性、响应速度、阻尼等信息,反映动态性能。,第三章 线性系统的时域分析法,控制系统性能指标,动态性能指标 调节时间(响应速度,阻尼程度) 超调量(阻尼程度) 延迟时间、上升时间、峰值时间(初始响应速度) 稳态性能指标 稳态误差(控制精度),第三章 线性系统的时域分析法
5、,动态性能指标,第三章 线性系统的时域分析法,(1)超调量:响应最大偏离量与终值之差百分比,响应稳态值,第三章 线性系统的时域分析法,系统对于超调量的要求,对于高速运动系统,允许有小的超调,以增加系统快速性 例如,在电动机调速系统中,电动机速度有一点超调是容许的,这时电动机速度跟踪特性较好。,对不可逆系统,系统不能出现超调 例如,在水泥搅拌控制系统中,含水量不能过量; 例如, 机床刀架系统,第三章 线性系统的时域分析法,(2)峰值时间tp:响应超过终值到达第一个峰值所需时间,(3)上升时间tr:响应从零第一次上升到终值所需时间,第三章 线性系统的时域分析法,(4)调节时间ts:响应到达并保持在
6、允许误差带(如2或5)内所需的最短时间,%的稳态值,响应稳态值,第三章 线性系统的时域分析法,非衰减振荡形式的单位阶跃响应曲线,延迟时间td:响应曲线第一次达到其终值一 半所需的时间。,上升时间tr:响应从终值10上升到终值90所需的时间。,td,ts,0.95,第三章 线性系统的时域分析法,稳态误差ess:若时间趋于无穷时,系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差。通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。,精度或抗扰动能力,稳态性能指标:,B,动态性能指标定义1,上升时间tr,调节时间 ts,动态性能指标定义2,动态性能指标定义3,第三章 线性系统的时
7、域分析法,控制系统设计的综合指标考虑: 理想的控制系统响应情况:超调量小或无超调、上升时间快、延迟时间短、调节时间短及稳态误差小或为零。,第三章 线性系统的时域分析法,典型一阶系统的时域分析,很多实际系统,本身可以建模为典型的一阶或二阶系统。(如单自由度机械振动系统等等); 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为典型的系统,以便于分析与设计; 在校正系统时,可以将校正环节设计成典型环节; 分析和理解高阶系统的基础。,第三章 线性系统的时域分析法,一阶系统的数学模型,第三章 线性系统的时域分析法,一阶系统微分方程的一般形式(时域模型):,T或:时间常数 ,反映系统惯性,一阶系统结构图:
8、,一阶系统闭环传递函数(复域模型):,第三章 线性系统的时域分析法,一阶系统的时间响应单位阶跃响应,稳态分量 输入模态,瞬态分量 自由模态,step(sys,t ) 求系统的单位阶跃响应,第三章 线性系统的时域分析法,可据此用实验方法测定,或测定系统是否属于一阶系统系统辨识,单调曲线,稳态值为1,稳态误差为0。 可以用时间常数来度量系统输出量的数值。 响应曲线的初始斜率等于,特点,响应曲线的斜率随时间推移而下降,一阶系统单位阶跃响应曲线,第三章 线性系统的时域分析法,动态性能指标: ts= 3 , td=0.69, tr=2.2 , %=0 可见: 响应速度与时间常数 有关。 稳态性能指标:
9、ess=0,一阶系统性能指标,第三章 线性系统的时域分析法,参数K,T对于一阶系统单位阶跃响应的影响,设K=1,第三章 线性系统的时域分析法,设T=3,取不同的K,对于系统单位阶跃响应的影响。,K=10,K=7,K=4,K=1,t,K,T,第三章 线性系统的时域分析法,根据被测定系统的单位脉冲响应,可以获知被测系统闭环传递函数。,一阶系统的时间响应单位脉冲响应,impulse(sys, t) %求系统单位脉冲响应,第三章 线性系统的时域分析法,存在稳态跟踪误差 ess=?,输入,一阶系统的时间响应单位斜坡响应,u=t ; lsim(sys, u, t, x0) ; %求系统单位斜坡响应,第三章
10、 线性系统的时域分析法,输入:,响应:,一阶系统的时间响应单位加速度响应,一阶系统不能实现对加速度信号的跟踪,u=(1/2)*t2 ; lsim(sys, u, t, x0) ; %求系统单位斜坡响应,第三章 线性系统的时域分析法,系统对输入信号导数的响应,等于系统对该输入信号响应的导数; 系统对输入信号积分的响应,等于系统对原信号响应的积分; 满足叠加性原理,线性时不变系统(LTI, linear time-invariant)的特性,第三章 线性系统的时域分析法,二阶系统的时域分析,例如: RLC无源网络 弹簧-质量-阻尼器 机械位移系统 二阶的位置控制系统 双容水槽 ,第三章 线性系统的
11、时域分析法,以二阶伺服系统为例导出典型二阶控制系统模型,控制输出位置c与输入位置r相协调。,比例 控制器,惯性负载元件,黏性摩擦元件,设负载元件的方程为:,则系统开环传递函数为:,第三章 线性系统的时域分析法,这类二阶伺服系统闭环传递函数为:,第三章 线性系统的时域分析法,二阶系统规范(标准)型数学模型,在动态响应分析中,常引入下列参数:,这样得到二阶系统闭环传递函数的标准形式:,第三章 线性系统的时域分析法,二阶系统规范(标准)型数学模型,二阶系统微分方程的标准形式:,第三章 线性系统的时域分析法,解特征方程,得闭环极点(特征根)为:,标准二阶系统的特征方程 及特征根(闭环极点),特征方程:
12、,第三章 线性系统的时域分析法,二阶系统的单位阶跃响应,第一种情况 0 0 1 过阻尼 响应较慢地单调收敛,第三种情况 = 0 =0 无阻尼 响应等幅振荡,第二种情况 0 -10 响应振荡发散 -1 响应单调发散,第三章 线性系统的时域分析法,特征方程有一对具有负实部的共轭复根:,欠阻尼(0 1)二阶系统的单位阶跃响应 求特征根(闭环极点),第三章 线性系统的时域分析法,零初始条件下,当 r(t)=1,R(s)=1/s 时有:,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应C(s),r,p,k=residue(num, den),第三章 线性系统的时域分析法,稳态分量 (ess=0),欠阻尼二阶系统的单位阶跃响
13、应h(t),第三章 线性系统的时域分析法,阶跃响应呈指数衰减(阻尼正弦)振荡,周期性地趋于稳态输出h() 系统稳定。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,第三章 线性系统的时域分析法,这时特征根为两相等的负实根(重根):,闭环极点在s平面的分布:,临界阻尼(=1)二阶系统的单位阶跃响应 求特征根(闭环极点),第三章 线性系统的时域分析法,稳态分量 ess=0,瞬态分量无振荡,为无超调单调下降(收敛)过程,临界阻尼(=1)二阶系统的单位阶跃响应,第三章 线性系统的时域分析法,这时响应h(t)单调上升有界,非周期地趋于稳态输出h()系统稳定。,临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,第三章 线性系统的时域分
14、析法,这时特征根为两个不相等的负实根:,闭环极点在s平面的分布:,过阻尼(1)二阶系统的特征根(闭环极点),第三章 线性系统的时域分析法,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,第三章 线性系统的时域分析法,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,瞬态分量为单调衰减指数项。 两项代数和1,第三章 线性系统的时域分析法,这时的h(t)非周期地趋于稳态输出,但响应速度比临界阻尼情况(=1)慢系统稳定。,过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,第三章 线性系统的时域分析法,这时具有一对正实部的共轭复根:,阻尼比(-1 0)时的二阶系统响应情况,第三章 线性系统的时域分析法,为正幂指数项,h(t)呈现为正指数发散振荡的曲线。,第
15、三章 线性系统的时域分析法,这时特征根为两不相等的正实根:,阻尼比( -1)时的二阶系统响应情况,第三章 线性系统的时域分析法,表明 0的二阶 系统不稳定。,-1 0, -1,第三章 线性系统的时域分析法,这时相当于无阻尼情况,特征根为一对纯虚根:,阻尼比( =0)时的二阶系统响应情况,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,无阻尼=0,欠阻尼0 1,二阶系统阶跃响应小结,第三章 线性系统的时域分析法,临界阻尼=1,过阻尼1,第三章 线性系统的时域分析法,特征参数变化时的二阶系统单位阶跃响应,工程上通常取 =0.40.8,第三章 线性系统的时域分析法,n,=n,欠阻尼二阶系
16、统各特征参量间关系小结,等阻尼比线,第三章 线性系统的时域分析法,欠阻尼二阶系统动态过程分析 动态性能指标,延迟时间td 上升时间tr 峰值时间tp 超调量 调节时间ts ,无零点(不含输入信号的导数)欠阻尼二阶系统,第三章 线性系统的时域分析法,计算欠阻尼标准型二阶系统延迟时间td,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应为:,td,0.5,第三章 线性系统的时域分析法,td难以用、n准确描述,可采用工程近似计算法, 由隐函数得到ntd与的关系曲线,利用曲线拟合法, 在较大的值范围内,得到td的近似计算公式:,当 0 1 时,可近似描述为:,第三章 线性系统的时域分析法,不变时tr与n成反比 d不变时,则
17、tr,计算欠阻尼标准型二阶系统上升时间tr,tr,第三章 线性系统的时域分析法,阻尼振荡周期,计算欠阻尼标准型二阶系统峰值时间tp,tp,第三章 线性系统的时域分析法,计算欠阻尼二阶系统超调量%,第三章 线性系统的时域分析法,欠阻尼二阶系统超调量%与阻尼比的关系,表明%仅是的函数, 与n无关。, % 取0.40.8时, % 25.4%1.5%,第三章 线性系统的时域分析法,计算欠阻尼标准型二阶系统调节时间ts,第三章 线性系统的时域分析法,由h(t)包络线及调节时间ts定义,推导ts的计算:,ts与闭环极点的实部(衰减系数)成反比。,第三章 线性系统的时域分析法,欠阻尼标准型二阶系统动态性能指
18、标计算小结,t,1. 延迟时间td的计算,与欠阻尼时类似有:,只有td、 tr和ts有意义,采用工程近似计算。,过阻尼二阶系统动态过程分析 动态性能指标计算,2. 上升时间tr的计算,tr定义为:响应从终值10%上升到终值 90%所需时间。,由ntr与的关系曲线拟合,近似为:,3. 调节时间ts的计算,根据h(t),利用数值解法,令T1/T2为不同 值,解出相应ts/T1,制成特性曲线图,查图 得到ts。 当1时,由T1、T2值在特性曲线图上查 出相应的ts; 当=1时,由于T1/T2=1,ts=4.75T1,例,如图所示典型二阶系统,求,【解】:,第三章 主要内容,系统的动态性能分析 典型输
19、入信号 性能指标 一、二阶系统时间响应 系统动态性能改善 高阶系统时域分析方法 系统的稳定性分析与判据 系统的稳态性能分析 控制系统的时域设计,第三章 线性系统的时域分析法,系统动态性能的改善或校正,第三章 线性系统的时域分析法,改善系统性能的常用方法,前馈(顺馈)校正方式 接于给定点后及主反馈作用点前 接于可测扰动点与误差测量点之间 复合校正方式 按扰动补偿的复合控制 按输入补偿的复合控制 串联校正方式 比例P控制、比例-微分PD控制、比例-积分PI控制、比例-积分-微分PID控制 反馈校正方式,第三章 线性系统的时域分析法,串联校正、反馈校正,串联 校正,反馈 校正,P、PD PI、PID
20、,第三章 线性系统的时域分析法,比例作用,微分器,二阶系统比例-微分串联校正PD控制,减小正向修正作用,增大反向制动作用,第三章 线性系统的时域分析法,PD控制对系统的影响传递函数的变化,由结构图得这时系统的开环传递函数为:,第三章 线性系统的时域分析法,PD控制对系统的影响传递函数的变化,第三章 线性系统的时域分析法,PD控制对系统模型的影响表现为:,增加了一个闭环零点:z = -1/Td 系统成为有零点的二阶系统; 不改变原系统的自然频率 n; P增益为1时不影响系统开环增益:K=n / 2 Td取适当值可增大系统阻尼比: 影响了系统的传递系数: n2 n2 Td,第三章 线性系统的时域分
21、析法,PD控制对系统性能的影响:,但系统输入端有较强高频噪声信号时,不宜采用这种PD控制方式。,适当选择开环增益K(K=n/2)和微分器时间常数Td,可使系统动态性能得到改善:,使%,ts,且不影响n和开环增益,而开环增益与ess有关。,测速反馈控制,第三章 线性系统的时域分析法,主回路,副(内)回路,二阶系统的反馈校正测速反馈控制,第三章 线性系统的时域分析法,系统的开环传递函数为:,相应的闭环传递函数为:,测速反馈控制对系统影响传递函数的变化,第三章 线性系统的时域分析法,使%,ts;不影响n;降低系统开环增益(斜坡输入时ess增大),测速反馈控制对系统性能的影响,第三章 线性系统的时域分
22、析法,基本结构、PD控制与测速反馈控制,测速反馈不形成闭环零点,因此即便在Kt=Td情况下,测速反馈与PD控制对系统动态性能的改善程度是不同的。,例设计图示系统具有如下的动态性能指标:超调量20%,峰值时间1秒。确定系统参数K和A。,解:,系统的闭环传递函数为:,系统为典型的二阶系统,化为标准形式,则有:,增加速度反馈环节可以提高系统的平稳性,减少超调量,减少振荡次数,降低调节时间,但系统的初始快速性略为减低。,第三章 线性系统的时域分析法,非零初始条件下二阶系统响应过程分析*,设二阶系统运动方程为:,对上式取拉氏变换,并考虑初始条件,可得:,若a2=b2,则上式可写为标准形式:,第三章 线性
23、系统的时域分析法,对上式取拉氏反变换,得时域响应:,当 1时,c2(t)为阻尼正弦振荡过程,其初始幅值及相位与初始条件有关,振荡性与阻尼比有关。响应分量衰减速率取决于乘积n。 当=0时, c2(t)为不衰减等幅振荡,幅值与初始条件有关。,分析可知 c1(t)与c2(t)相应结论一致。因此,若仅分析系统自身固有特性,可不考虑非零初始条件对响应过程的影响。,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 主要内容,系统的动态性能分析 典型输入信号 性能指标 一、二阶系统时间响应 系统动态性能改善 高阶系统时域分析方法 系统的稳定性分析与判据 系统的稳态性能分析 控制系统的时域设计,高阶系统的时域分析,哪些情
24、形下出现高阶系统? 控制任务复杂 外力环境复杂 被控对象复杂 ,高阶系统举例: 航空、航天系统 多容积对象 复杂动力学系统 ,一个四阶系统举例,例:求如图机械系统的传递函数:,解:,一个三阶系统举例,三阶系统的动态特性分析,选择一种典型模式,以系统在s左半平面具有一对共轭复数极点和一个实极点的分布模式为例:,一阶环节,二阶环节,这时三阶系统闭环传递函数为:,设初始条件为零,响应的拉氏变换为:,对上式取拉氏反变换,则有:,求三阶系统单位阶跃响应:,将系数A、ReB、ImB代入h(t)表达式,令b =s0/n,经整理得三阶系统在1时的单位阶跃响应:,求该响应各分量的系数:,三阶系统单位阶跃响应曲线
25、:,当不变时,随实数极点向虚轴方向移动,即b值下降则:%,tp、tr、 ts; 在b1时,三阶系统将表现出明显的过阻尼特性。,(=0.5),高阶系统时域分析,高阶系统传递函数 高阶系统的分解 高阶系统单位阶跃响应 不同系统动态性能比较 高阶系统闭环主导极点及动态性能分析 高阶系统的动态性能估计,高阶控制系统闭环传递函数,R(s),E(s),-,C(s),式中,q+2r =n, q为实数极点的个数; r为共轭复数极点对数,求单位阶跃响应的拉氏变换,在实际控制系统中,所有闭环极点通常不相同。,将上式展成部分分式,并设0k1,可得:,A0:C(s)在输入极点处的留数:,Aj:C(s)在闭环实数极点s
26、j处的留数:,高阶系统单位阶跃响应各分量系数:,Bk、Ck:,则高阶系统单位阶跃时域响应为:,高阶系统闭环主导极点及动态性能分析,例:已知某四阶系统的闭环传递函数,分析其动态性能:,四阶系统闭环传递函数,零极点分布图,sys=zpk(-2.1,-8 -2 -0.5+0.866*j -0.5-0.866*j,8); pzmap(sys);,该四阶系统单位阶跃响应,sys=zpk(-2.1,-8 -2 -0.5+0.866*j -0.5-0.866*j,8); sys1=tf(1.05,1 1 1); step(sys,b-,sys1,r:),指数影响情况 某闭环极点远离闭环零点而接近原点,则其对
27、应响应分量指数大,即衰减系数小,该响应分量衰减慢。 系数影响情况 某闭环极点远离零点而接近其它闭环极点,则其对应响应分量的系数比较大; 远离原点的闭环极点,其对应的响应分量系数小; 远离虚轴的闭环极点对应的响应分量比重小,衰减快; 某闭环极点接近一个闭环零点(偶极子),远离其它极点和原点,则其对应响应分量的系数很小.,闭环零、极点与响应分量(系数、指数),系统动态性能比较闭环主导/非主导极点,闭环主导极点 距虚轴较近的极点,且周围没有闭环零点,而其它闭环极点又远离虚轴,那么距虚轴最近的闭环极点对应的响应分量,随时间推移衰减缓慢,从指数及系数来看,在响应过程中起主导作用。,主导极点,主导极点,非
28、主导极点,响应主导分量:在高阶系统中,系数大且衰减慢的响应分量在动态过程中起主导作用。,系统动态性能比较闭环非主导极点,闭环非主导极点 系统闭环非主导极点变化,对系统动态性能影响较小。,系统动态性能比较偶极子,偶极子 闭环零、极点间的距离比它们本身的模值小很多(如小一个数量级),则它们构成偶极子。远离原点的偶极子其影响可忽略。,偶极子,高阶系统的降阶,降阶,高阶系统降阶:忽略闭环非主导极点、偶极子,主导极点,非主导极点,主导极点,偶极子,高阶系统的降阶,及动态性能估计,应用闭环主导极点、偶极子概念,导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式,由降阶的系统估算高阶系统的动态性能。,系统动态性能比较闭环
29、零点影响,闭环零点影响 减小系统阻尼,这种作用随闭环零点接近虚轴而加剧。,系统动态性能比较闭环非主导极点影响,闭环非主导极点影响 增大系统阻尼,这种作用随闭环极点接近虚轴而加剧。,闭环主导极点举例 :,闭环主导极点举例 :,偶极子举例 :,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 主要内容,系统的动态性能分析 典型输入信号 性能指标 一、二阶系统时间响应 系统动态性能改善 高阶系统时域分析方法 系统的稳定性分析与判据 系统的稳态性能分析 控制系统的时域设计,线性系统稳定性分析(Stability Analysis ),倒摆的平衡控制,稳定的平衡点与不稳定的平衡点举例:,线性系统的稳定性,小球的平衡
30、,稳定与不稳定举例:,稳定的概念,根据俄国学者李雅普诺夫(Liapunov)稳定性理论,线性控制系统的稳定性定性地定义为: 若线性控制系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点),则称系统渐进稳定,简称稳定。 反之,若在初始扰动下,系统的动态过程随时间的推移而发散,则称系统不稳定。,补充:Liapunov稳定定义的数学描述,如果一个关于X的微分方程组,在初始条件 下有解X(t),且对于任意给定的正数0,总存在一个正数(),当初始条件 变为 时,只要| |,其相应解 在t 的任何时刻都满足| |,则称解 是 稳定的。如果不存在这样的正数,则称解 是不稳定的。,工
31、程上希望的系统:大范围渐近稳定,线性系统稳定的充要条件推导,分析稳定性时,用单位脉冲信号(t)模拟 作用于系统的扰动信号。 设线性系统在零初始条件下受(t)作用,若 t时,脉冲响应 ,即输出增量 收敛于原平衡工作点,则线性系统是稳定的。,线性系统稳定的充要条件推导,设si为特征方程D(s)=0的根,且彼此不等。L (t)=1,系统的脉冲响应为:,1. 稳定,当且仅当系统的特征根全部具有负实部时, 成立。,即当实根sj0,共轭复根的实部-kk0时, 系统稳定。,线性系统稳定的充要条件推导 分析脉冲响应c(t)的三种情况,2. 不稳定,特征根有一个或一个以上正实部根,则 不稳定。,线性系统稳定的充
32、要条件推导 分析脉冲响应c(t)的三种情况,3. 临界稳定,特征根中有一个或一个以上零实部根,其余 为负实部,则 不是渐近稳定,在经典控制理论中归为不稳定。,线性系统稳定的充要条件推导 分析脉冲响应c(t)的三种情况,闭环系统特征方程的所有根(闭环极点)均具有负实部,或均严格位于左半s平面。,线性系统稳定的充分必要条件,线性系统稳定性的说明,稳定域结论由r(t)=(t)时得出,对于线性系统同样适用于r(t)为任意有界函数的情况; 对非线性系统则不适用; 系统稳定性只取决于系统特征根(闭环极点),而与系统闭环零点无关; 系统稳定性与外界条件(如外作用)也无关是线性系统自身固有的特性。,线性系统稳
33、定判据(Stability Criterion),代数稳定判据以线性系统特征方程的系数为依据判别特征根的分布 胡尔维茨(Hurwitz)稳定判据 劳斯(Routh)稳定判据 朱利(Jury)稳定判据 频率域稳定判据,特征根与多项式系数的关系,根据Hurwitz稳定判据,充分且必要条件是:由系统特征方程各项系数所构成的主行列式n及其顺序主子式i(i=1,2,n-1)全部为正,即:,线性系统的特征方程为:,使线性系统稳定的必要条件是:在特征 方程中各项系数为正且不缺项。,胡尔维茨(Hurwitz)稳定判据,第三章 线性系统的时域分析法,det ( ) 计算 矩阵行列式,第三章 线性系统的时域分析法
34、,对于n4的线性系统,稳定的充要条件可表示为:,适用于系统特征方程次数较低时。,劳斯(Routh)稳定判据,设线性系统的特征方程为:,该线性系统稳定的充要条件:劳斯表中第一列各值严格为正。 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统不稳定,且第一列各系数符号的改变次数代表特征方程的正实部根(即具有正实部的闭环极点)的数目。,第三章 线性系统的时域分析法,第一行sn:,第二行sn-1:,第i行第j列sn-i+1:,第(n+1)行s0:,(i3),共n+1行,空位均置以零,编制Routh表,第三章 线性系统的时域分析法,劳斯表:,1、必要条件,2、列写劳斯表,第三章 线性系统的时域分析法,劳斯稳定判
35、据举例,(1)劳斯表中某行第一列元素为0,其余各列不为0举例,例3-4:系统特征根方程如下,判定此系统稳定性.,解:列劳斯表,系统不稳定,正实部根的个数为2个。,0,小正数,第三章 线性系统的时域分析法,(2)劳斯表中出现全零行,s2 -1.5 -4 s1 -16.7 s0 -4,结论:该系统不稳定,它有一个正实根。,第三章 线性系统的时域分析法,Routh稳定判据的特殊情况,(1)Routh表中某行的第一列项为零,而其余各项不为零,或不全为零系统至少有一对特征根在虚轴上。,第三章 线性系统的时域分析法,Routh表中某行的第一列项为零的处理:,处理一:用因子(s+a)乘以原特征方程,其中a为
36、 任意正数,再对新的特征方程应用Routh稳定判据。 处理二:用一很小正数代替该项,而继续计算下一行的项,计算结果如是的上项和下项符号相反,则记作一次符号变化(即系统除至少有一对虚根,还有一个正实部的根)。,第三章 线性系统的时域分析法,(2)Routh表中出现全零行系统有一些大小相等而关于原点对称的根,例如两大小相等符号相反的实根和(或)一对虚根、或对称于虚轴的两对共轭复根。,j,s平面,第三章 线性系统的时域分析法,Routh表中出现全零行的处理: 处理:用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0,并将辅助方程对复变量s求导,用所得导数方程(dF(s)/ds=0)的系数取代全零行的
37、元,再按Routh判据的要求继续运算,直到得出完整的Routh计算表。那些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解辅助方程F(s)=0得出。,对于劳斯表特殊情况的说明: 对于以上两种特殊情况,即使计算所得Routh表的第一列元素全大于零,也只能确定系统是临界稳定的,即原系统至少有一对纯虚根。,Routh稳定判据的应用,Routh判据的局限: (1)不能指出使系统稳定的方法; (2)如果稳定,但不能保证系统具备满意的 动态性能。,应用一:判别系统是否稳定; 应用二:确定系统一个或两个可调参数对系统 稳定性的影响。 应用三:判别是否满足给定稳定度a的要求;,给定稳定度a的概念,j,a,a: 给定稳定
38、度,对于稳定的系统: 闭环极点分布靠近虚轴,即sj或 -kk的值较小,一般动态过程不理想:具有缓慢的非周期特征或强烈的振荡特性。,第三章 线性系统的时域分析法,例 3-10,问题二解决:用新变量s1=s+a代入原特征方程D(s)=0,对新特征方程D(s)=0应用Routh判据,判别特根是否全位于s=-a垂线之左,即是否满足给定稳定度a的要求。,Routh判据应用举例:,问题一:确定使闭环系统稳定的K1取值范围? 问题二:要求闭环系统具有-1的给定稳定度时, K1取值范围?,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 主要内容,系统的动态性能分析 典型输入信号 性能指标 一、二阶系统时间响应 系统动态
39、性能改善 高阶系统时域分析方法 系统的稳定性分析与判据 系统的稳态性能分析 控制系统的时域设计,稳定性(stability)与稳态特性(steady state),输入:,响应:,例如:一阶系统单位加速度响应,显然:,系统稳定性?,稳态(steady state)性能分析与计算,误差、稳态误差概念 系统型别的划分 稳态误差的计算 由定义直接计算 由拉式变换终值定理计算 静态误差系数 了解动态误差系数 减小或消除稳态误差的措施,线性系统的误差,误差,系统性或原理性:与系统结构、控制量/ 扰动量有关,附加或结构性:由非线性、随机因素引起, 例如摩擦、间隙、不灵敏区,输入,原理性无差误差与有差系统,
40、无差系统 阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统 有差系统 阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统,清华大学自动化系 慕春棣,自动控制理论,5、静态误差,5、关于静差的物理解释,当M增大,水位h降低,l变大,从而Q变大,h回升,,达到新的平衡,此时,如果要保证,这是一个有差系统,当,清华大学自动化系 慕春棣,自动控制理论,5、静态误差,初始状态:,此时,这是一个无静差系统。,提高,l,清华大学自动化系 慕春棣,自动控制理论,5、静态误差,k1,数学模型,清华大学自动化系 慕春棣,自动控制理论,5、静态误差,两者不同,前者是0型,后者是1型,多了一个电动机,在把 速度信号变为位置信号时多了一个积
41、分环节。,误差(error)的定义输入端误差,(1) 输入误差或偏差e(t):在系统输入端定义,误差传递函数:,(2)输出误差 :在系统输出端定义,输出量期望值,输出量实际值,可以证明:,误差(error)的定义输出端误差,(3) 跟踪误差 :输入到输出信号间的误差。,误差(error)的定义跟踪误差,误差传递函数:,不同情况下定义的误差比较,输入误差: 可测量,具有物理意义; 跟踪误差: 物理意义明显,直观; 输出误差:有时无法测量,也可作为精度指标。,当系统为单位反馈控制时(即H(s)=1,或b(t)=c(t)),有:,用稳态误差ess度量系统稳态控制精度,作为系统稳态( 或静态)性能指标
42、。,稳态误差(steady state error),r(t)、c(t)、e(t)与ess,如何计算稳态误差?,由稳态误差的定义 应用拉氏变换终值定理 静态误差系数法 动态误差系数法 ,应用拉氏变换终值定理求稳态值举例:,拉氏变换终值定理的适用条件:,事实上:,不满足终值定理条件,拉氏变换终值定理求稳态误差ess,拉氏变换终值定理前提条件:,特殊情况: 将sE(s)位于原点上的极点划到s左半平面, 这时:ess=,这样可以不用求取c(t)或e(t),而由开环传递函数与输入求ess,拉氏变换终值定理求稳态误差ess,拉氏变换终值定理求ess的简化,第三章 线性系统的时域分析法,影响ess的因素:
43、 积分环节数 开环增益K 输入信号R(s),系统型别,依据开环传递函数,按照控制系统跟踪不同 输入信号的能力来进行系统分类型别。,系统的型别或无差度,静态误差系数 静态位置误差系数Kp 静态速度误差系数KV 静态加速度误差系数Ka 动态误差系数,误差系数法求稳态误差,b(t),阶跃输入作用下的稳态误差 与静态位置误差系数Kp,R(s)=R/s,由拉氏变换终值定理,斜坡输入作用下稳态误差 与静态速度误差系数Kv,第三章 线性系统的时域分析法,斜坡输入作用下I型系统的响应与速度误差示意图:,加速度输入作用下的稳态误差与 静态加速度误差系数Ka,第三章 线性系统的时域分析法,加速度输入作用下型系统的
44、响应与加速度 误差示意图:,第三章 线性系统的时域分析法,如果系统的输入信号是多种典型函数的线性 组合,例如:,则根据线性叠加原理有:,第三章 线性系统的时域分析法,由静态误差系数求稳态误差的小结:,位置误差或静差:,加速度误差:,速度误差:,第三章 线性系统的时域分析法,典型输入信号作用下的稳态误差终值,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,动态误差系数法,如何完整描述e(t)随时间的变化规律? 如何研究输入信号为任意时间函数时ess(t)的变化情况?,例如这样的输入:,?,第三章 线性系统的时域分析法,六、动态误差系数(或广义误差系数),利用动态误差系数法,可以研究输
45、入信号几 乎为任意时间函数时的系统稳态误差变化,可 以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规 律。,动态误差系数,数学方法:应用泰勒级数,第三章 线性系统的时域分析法,例:利用动态误差系数法解上例,第三章 线性系统的时域分析法,动态位置误差系数,动态速度误差系数,动态加速度误差系数,第三章 线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,求取ess的方法小结:,(1) 由稳态误差定义求时域极限的方法,(2) 拉氏变换终值定理的方法,必须满足终值 定理前提条件,(3) 静态误差系数法,外作用局限于阶跃、 斜坡和加速度函数或它们的线性组合。,(4) 动态误差系数法,外作用函数形式广泛,
46、 可以表征稳态误差随时间变化的规律ess(t),扰动作用下的稳态误差 反映系统抗干扰的能力,利用动态误差系数求扰动作用下的稳态误差,利用终值定理求扰动作用下的稳态误差,当sEn(s)在s右半平面及虚轴上解析时,可以采用拉氏变换终值定理法、或静态误差系数法计算系统在扰动作用下的稳态误差 系统稳定 扰动信号为阶跃、斜坡、加速度函数或它们的线性组合,减小或消除稳态误差的措施,增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益;,注:应权衡考虑系统稳定性、稳态误差与动态 性能之间的关系。,2. 在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节(提高系统型别);,3. 采用复合控制方法。,测速反馈控制,测速
47、反馈控制对稳态性能(ess)的影响举例,系统的开环传递函数为:,使 %,ts;不影响n,相应的闭环传递函数为:,降低系统开环增益 斜坡输入时ess增大,比例-积分(PI)控制对系统稳态性能的影响,例 计算如图所示两个系统在阶跃转矩扰动、斜坡转矩扰动作用下的稳态误差。,系统一,系统二,解系统一在阶跃扰动、斜坡扰动作用下的稳态误差,扰动作用下系统误差表达式为:,设sEn(s)的极点位于s左半平面,解系统二在阶跃扰动、斜坡扰动作用下的稳态误差,扰动作用下系统误差表达式为:,设sEn(s)的极点位于s左半平面,第三章 线性系统的时域分析法,基于时域法的系统分析、设计流程:,控制任务,系统模型,输入,系统响应,符合性能要求?,简化?,N,Y,N,Y,高阶低阶,非线性线性,系统参数调整或 校正:如PD、测速反馈,完成控制系统分析与设计,基于经验或知识的系统初步设计,稳定?,Y,N,系统性能评价,例,已知单位反馈系统的开环传递函数为,求当系统输入分别为阶跃、速度、加速度时的稳态误差。,满足终值定理条件,满足终值定理条件,例 已知单位反馈系统的开环传递函数为,,,时,求系统的稳态误差。,当,在虚轴上存在极点,不满足终值定理条件, 不能用终值定理求系统稳态误差。,应用终值定理求稳态误差时,一定要注意条件,对于正弦输入下的稳态
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