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1、,第 讲,1,映射与函数,第二章 函数,一、映射的概念与判定方法 1. 设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个元素, ,这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射,记作 . 2. 给定一个从集合A到集合B的映射,且aA,bB,如果元素a和b对应,那么元素b叫做元素a的 ,元素a叫做元素b的 .,在集合B中都有唯一的元素与它对应,f:AB,原象,象,二、函数的三要素及其表示法 1.函数的三要素是 , , .判断两个函数是否为同一函数只需判定两点: 和 . 2. 函数的三种表示方法有 、 和 . 三、分段函数与复合函数,定义域,值域,对应法则,定义域是否相同,对应法则是否相
2、同,解析法,列表法,图象法,1. 如果一个函数在定义域的不同子集中 因 不同而用几个不同的式子来表示,这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 再组合在一起,但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏. 2. 如果y=f(u),u=g(x),那么函数y=fg(x)叫做复合函数,其中f(u)叫做 函数,g(x)叫做 函数.,对应关系,解析式,外层,内层,1.在映射f:AB中,下列判断正确的是( ) A. A中的元素a的象可能不止一个 B. A中的元素a1和a2的象不可能相同 C. B中的元素b的原象可能不止一个 D. B中的元素b1和b2的原象可能相同 由映射的定义知,选C.,C,2.设集合M
3、=-1,0,1,N=1,2,3,4,5,映射f:MN满足条件“对任意的xM,x+f(x)是奇数”,这样的映射f个数是( ) A. 125 B. 243 C. 12 D. 7 分三步:(1)当x=-1时,f(x)=2,4; (2)当x=0时,f(x)=1,3,5; (3)当x=1时,f(x)=2,4, 所以映射f共有232=12个.,C,3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为y=2x2+1,值域为9,1,3的“天一函数”共有( ) A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个,C,分三步:(1)当y=1时,x=0; (2)当y=3时,
4、x=1或x=-1或x=1; (3)当y=9时,x=2或x=-2或x=2, 所以“天一函数”共有133=9个.,题型一:映射与函数的概念 1. 判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射: (1)A=R,B=x|x0,f:x|x|; (2)A=N,B=N,f:x|x-2|; (3)A=x|x0,B=R,f:xx2.,(1)0A,在法则f下,0|0|=0B,故该对应不是从集合A到集合B的映射; (2)2A,在法则f下,2|2-2|=0B,故该对应不是从集合A到集合B的映射; (3)对于任意xA,依法则f:xx2B,故该对应是从集合A到集合B的映射.,点评:映射是一种特殊的对应,函数是特殊的映射,即从
5、非空数集到非空数集的映射.对于函数:按某种对应法则f,从非空数集A到非空数集B的函数,要求A中的元素必须有象且唯一,而集合B中的元素也必须有原象,可以有一个或多个.,下列从M到N的各对应法则fi(i=1,2,3,4)中, 哪些是映射? 哪些是函数? 哪些不是映射?为什么?,(1)M=直线Ax+By+C=0,N=R,f1:求直线Ax+By+C=0的斜率; (2)M=直线Ax+By+C=0,N=|0,f2:求直线Ax+By+C=0的倾斜角; (3)当M=N=R,f3:求M中每个元素的正切; (4)M=N=x|x0,f4:求M中每个元素的算术平方根.,(1)当B=0时,直线Ax+C=0的斜率不存在,
6、此时N中不存在与之对应的元素,故f1不是从M到N的映射,也就不是函数了. (2)对于M中任一元素Ax+By+C=0,该直线恒有唯一确定的倾斜角,且0,),故f2是从M到N的映射.但由于M不是数集,从而f2不是从M到N的函数.,(3)由于M中元素 (kZ)的正切无意义,即它在N中没有象,故f3不是从M到N的映射,自然也不是函数. (4)对于M中任一非负数,其算术平方根唯一且确定,故f4是从M到N的映射,又M、N均为非空数集,所以f4是从M到N的函数.,题型二:映射中的象或原象问题 2. 已知映射f:AB,其中A=B=R,对应法则f:xy=-x2+2x,对于实数kB,在集合A中不存在原象,则k的取
7、值范围是( ) A. k1 B. k1 C. k1 D. k1,已知象k求原象x,即求方程 -x2+ 2x=k的实数解.本题要求k在A中无原象,即方程在R中无实根.由题意,方程 -x2+2x=k在R中无实根,即x2-2x+k=0在R中无实根, 所以=(-2)2-4k0,解得k1, 所以当k1时,集合A中不存在原象,故选A.,点评:从集合A到集合B的映射,集合A中的元素一定在集合B中有元素对应,即集合A中的元素有象,而集合B中的元素,可以不与集合A中的元素对应,即B中的元素可以没有原象.,在映射f:AB中,已知A中元素(x,y)与B中的元素 对应.求: (1)A中的元素(1,3)的象; (2)B
8、中的元素(-5,2)的原象.,(1)令x=1,y=3,则 所以A中的元素(1,3)的象为(2,-1). (2)令 则x=-3,y=-7, 所以B中的元素(-5,2)的原象是(-3,-7).,题型三:求映射的个数 3. 已知A=1,2,3,4,5,B=6,7,8. (1)从A到B的映射有多少个? (2)从B到A的映射有多少个? (1)由映射的概念及乘法原理知从A到B的映射共有35=243(个). (2)同理,从B到A的映射共有53=125(个).,点评:设集合A中的元素个数是m,集合B中的元素个数是n,则从集合A到集合B的映射个数是nm.,已知A=B=1,2,3,4,5,从A到B的映射f满足:
9、f(1)f(2)f(5); f的象有且只有2个, 则适合条件的映射的个数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40,分步:在B中选定f下的两个象,有 种;确定A中元素在f下的原象,由条件将1,2,3,4,5分前后两组,分别对应较小与较大的两个数,有 种分法,故有 个映射,选D.,题型 表格中的对应关系 (原创)表中的数据x(x0)与y之间的对应关系是f:xax2+bx+c,根据表中的数据填空. 则处的数据可以是 , 处的数据可以是 .,由题意, 可求得 , 所以x=4时,可得y=10; 由y=5050及x0可得x=100. 所以处填10;处填100.,1. 判断对应是否为映射,要考虑两个要素,一是A中的每个元素是否都有象,二是每个元素的象是否唯一.如果A中存在一个元素没有象或有多个象,则该对应就不是映射. 2. 在分析映射f:AB中的元素的对应关系时,须注意A中不同的元素可以对应同一个象,B中的元素可以没有原象,即B中的元素可以“剩余”.,
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