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1、第四章 随机变量的数字特征, 数学期望及其性质, 方差及其性质, 协方差与相关系数, 契比雪夫不等式, 常见的重要分布的数字特征,http:/ 分布函数常常是困难的,且在很多实际问题中,只需 知道随机变量的某些特征,而不必求分布函数。,由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值,故称它们为随机变量的数字特征。,本章介绍常用数字特征:数学期望,方差,协方 差,相关系数和矩。数学期望是最重要的一种,其余 都可以由它来定义。,引言,http:/ 击中区域II内得1分,脱靶(击中区域III)得0分。,II,I,III,枪手每次射击的得分X是一个随机变量,其分布律为,现射击N次,其中得0分的有
2、次,得1分的有 次,得2分的有 次, 于是,射击N次的总分为,http:/ 接近于概率 ,故当N很大时,这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均 接近于,称后者为随机变量X的数学期望(均值).,http:/ 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。,(1),一、概念,http:/ 知:甲的成绩远胜过乙的成绩。,【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1,X2,其 分布律分别为,http:/ 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为,http:/ 设Y=g(X)是随
3、机变量X的连续函数,则Y 也是随机变量,且其数学期望为,(2),利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理:,二、随机变量函数的数学期望,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。,http:/ 分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。,定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数, 则Z也是随机变量,且其数学期望为,(3),http:/ 矩,它们都是随机变量函数的数学期望。,X与Y的协方差(4),http:/ 能地取值1,2,3,4,5,6;,又Y=g(X),且,g(1)= g(2)=
4、g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5.,故随机摸一球得分的期望为,http:/ 指数分布,其概率密度为,解这是求连续型随机变量函数的数学期望。,工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费 300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.,设售出一台设备的净赢利为,http:/ 要计算广义二重积分,当概率密度在有界区域D上非 零时,实际上是计算普通二重积分.,http:/ E(c)=c;, E(cX)=cE(X);, E(X+Y)=E(X)+E(Y);, 当X,Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);,【证】由随机
5、变量及其函数的数学期望知:, 此时,为退化分布:PX=C=1,故由定义得:,E(c)=E(X)=cPX=c=c., 由定义得:,http:/ 由随机变量函数的期望得:, 由X,Y相互独立得:,http:/ 出其它数字特征的一些性质.,http:/ 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定 义为,其中数学期望存在.,(4),在应用上还用到与X具有相同量纲的量,称之为随机变量X的均方差(标准差).,方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比 较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大.,http:/ 方差D(X)就是随机变量X的函数,的数学期望.因此,当X的分布律 或概率密度
6、已知时,有,(5),http:/ D(c)=0;, D(cX)=c2D(X);, D(X+c)=D(X);,当X,Y相互独立时,D(XY)=D(X)+D(Y);,【证】只证4。,D(aX+b)=a2D(X),D(X)=0的充要条件PX=C=1,其中C=E(X).,http:/ 相互独立。于是,由数学期望的性质得:,从而,有,http:/ (0-1)分布,其分布律为,解X的所有可能取的值为0,1,2,n.,证明 并求E(X),D(X).,事件 X=k是 个互斥基本事件的和事件,且其中每个基本事件为“从n个格子中取出k个放入1,其余放入0”.由独立性易知:每个基本事件的概率为,故,从而,http:
7、/ 0-1分布,所以,由期望与方差性质得:,http:/ 估计事件|X-|概率的方法.在上式中分别取 =3,4得,由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式:,http:/ 与期望、方差 定义得,故,http:/ 随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y),定 义为,其中数学期望存在,而,称为随机变量X与Y的相关系数.,相关系数是一个无量纲的量.,http:/ 对称性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);, 线性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a为常数),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+ Cov(Y,Z)., |XY|1;, 若Y=aX+b(a,b为常数,且a0),则,X与Y正相关,X与Y负相关, |XY|=1的充要条件是存在常数a,b,使,PY=aX +b=1.,http:/ =1时,X与Y之间以概率1存在线性关系;当XY较小时,表明X与Y线性相关程度较差.,定义4 若相关系数XY =0,则称随机变量X与Y 不相关.,当X与Y相互独立时,由数学期望性质与协方差定 义得,故X与Y不相关.,一般,X与Y独立 X与Y不相关.,http:/ 系数.,解因为X与Y的联合概率密度为,X与Y的边缘概率密度为,http:/ 独立与不相关是等价的。,所以,X与Y的相关系数为:,最后,请注意正态分布的一些重要结论 。,http:/
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