1984年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1984 年全国高中数学联赛试题 第一试 1选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分) 集合 S=|argZ=, 为常数在复平面上的图形是( ) 2 Z A射线 argZ=2 B射线 argZ=2 C射线 argZ= D上述答案都不对 下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)0 的是( ) 对所有满足 1nm5 的 m,n,极坐标方程 =表示的不同双曲线条数是( ) 1 1C n mcos A15 B10 C7 D6 方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A1 B2
2、C3 D大于 3 若 a0,a1,F(x)是一个奇函数,则 G(x)=F(x)( + )是 1 ax1 1 2 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D奇偶性与 a 的具体数值有关 若 F()=x,则下列等式中正确的是( ) 1x 1 +x AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() 1 +x 1x CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若动点 P(x,y)以等角速度 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(2xy,y2x2)的运动方式是 A以角速度 在单位圆上顺时针运动 B以角速度 在单位圆上逆时针运动 C以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 若四
3、面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 F(x)在其定义域上 A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值 2填充题(本题满分 10 分,每小题 5 分) 如图, AB 是单位圆的直径, 在 AB 上任取一点 D, 作 DCAB, 交圆周于 C, 若点 D 的坐标为 D(x, 0), 则当 x 时,线段 AD、BD、CD 可以构成 锐角三角形 方程 cos =cosx 的通解是 ,在(0,24)内不相同的解有 x 4 个 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 1(本题满分 15 分)下列命题是否正确?
4、若正确,请给予证明否则给出反例 若 P、Q 是直线 l 同侧的两个不同点,则必存在两个不同的圆,通过 P、Q 且与直线 l 相切; 若 a0,b0,且 a1,b1,则 logab+logba2 设 A、B 是坐标平面上的两个点集,Cr=(x,y)|x2+y2r2,若对任何 r0,都有 CrACrB,则 必有 AB 2(本题满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 ,它们的公垂线 AA的长度为 d,在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 AE=m,AF=n,求 EF(A在直线 a 上,A 在直线 b 上) 3 (本题满分15分)如图, 在ABC中, P为边BC上任意一点, PEBA,
5、 PFCA, 若SABC=1, 证明 : SBPF、 SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 (SXYZ表示多边形 XYZ 的面积) 4 9 4(本题满分 15 分) 设 an是 12+22+32+n2的个位数字,n=1,2,3,试证:0.a1a2an是有理数 5(本题满分 15 分) 设 x1,x2,xn都是正数,求证:+x1+x2+xn x 2 1 x2 x 2 2 x3 x 2 n1 xn x 2 n x1 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1984 年全国高中数学联赛试题解答 第一试 1选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分)
6、集合 S=|argZ=, 为常数在复平面上的图形是( ) 2 Z A射线 argZ=2 B射线 argZ=2 C射线 argZ= D上述答案都不对 解:由于 argZ0.2),故不存在答案 Barg=2,故选 D Z 下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)0 的是( ) 解:当 0y2x0;当 x1 时,得 y2x1选 D 对所有满足 1nm5 的 m,n,极坐标方程 =表示的不同双曲线条数是( ) 1 1C n mcos A15 B10 C7 D6 解 : 由 e=C ,若表示双曲线,则 e1,由 C 1,可得 m、n 的不同取值为 C =5,C =10,C
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