1987年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1987 年全国高中数学联赛试题 一试题(10 月 11 日上午 800930) 一选择题(每个小题选对得 5 分,不选得 1 分;选错或选出的代号超过一个者得 0 分本题满分 20 分): 1对任意给定的自然数 n,若 n6+3a 为正整数的立方,其中 a 为正整数,则( ) A这样的 a 有无穷多个 B这样的 a 存在,但只有有限个 C这样的 a 不存在 D以上 A、B、C 的结论都不正确(上海供题) 2边长为 5 的菱形,它的一条对角线的长不大于 6,另一条不小于 6,则这个菱形两条对角线长度之 和的最大值是( ) A10 B14 C5
2、 D12(天津供题) 26 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若 a 为无理数,则过(a,0)的所有直线 中( ) A有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有 n(2n0 B=(x,y)| |xy|+1=|x|+|y| 若 AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 的值为 (青海供题) 3若 k 是大于 1 的整数, 是 x2kx+1=0 的一个根,对于大于 10 的任意自然数 n, +的个位数 2n 2n 字总是 7,则 k 的个位数字是 (河北供题) 4现有边长为 3,4,5 的三角形两个,边长为 4,5,的三角形四个,边长为,4,5 的三角形41
3、5 6 2 六个,用上述三角形为面,可以拼成 个四面体(江西供题) 5五对孪生兄妹参加 k 个组活动,若规定: 孪生兄妹不在同一组;非孪生关系的任意两个人都 恰好共同参加过一个组的活动,有一人只参加两个组的活动,则 k 的最小值为 (命题组供题) 2 A B C 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1987 年全国高中数学联赛二试题 一如图,ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定ABC,而将ADE 绕 A 点在平 面上旋转,试证:不论ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使BMD 为等腰直角三角形 E B C D A 二在坐标平面上,纵横坐标都是整
4、数的点称为整点试证:存在一个同心圆的集合,使得 每个整点都在此集合的某个圆周上; 此集合的每个圆周上,有且只有一个整点(辛泽尔定理) 三n(n3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明:总可 以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1987 年全国高中数学联赛解答 一试题 一选择题(每个小题选对得 5 分,不选得 1 分;选错或选出的代号超过一个者得 0 分本题满分 20 分): 1对任意给定的自然数 n,若 n6+3a 为正整数的立方,其中 a 为正整数,则( )
5、 A这样的 a 有无穷多个 B这样的 a 存在,但只有有限个 C这样的 a 不存在 D以上 A、B、C 的结论都不正确(上海供题) 解:(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k取 a=(3n4+9n2k+9k2)k,(k 为任意正整数),则 n6+3a 为正整数的立方,由于 k 可任意取值,且当 k 增大时,a 也随之增大即 a 有无数个选 A 2边长为 5 的菱形,它的一条对角线的长不大于 6,另一条不小于 6,则这个菱形两条对角线长度之 和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 26 解:设 x3,y3,且 x2+
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