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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8001000) 一选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1设 ( , ),则(cos)cos,(sin)cos,(cos)sin的大小顺序是 4 2 A(cos)cosb0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 x2 a2 y2 b2 中的( ) 二填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则 +的最小值是 1 1 + an 1 1 + bn 2设 A(2,0)为平面上一
2、定点,P(sin(2t60),cos(2t60)为动点,则当 t 由 15变到 45时,线段 AP 扫过的面积是 3设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立,则 n 的最小值 是 4对任意正整数 n,连结原点 O 与点 An(n,n+3),用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点),试求 f(1)+f(2)+f(1990) 5设 n=1990,则 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 (13C +32C33C +3994C3995C= 1 2n 2 n 4 n 6 n 1998 n 1990 n 68 个女孩与 2
3、5 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 三(本题满分 20 分) 已知 a,b 均为正整数,且 ab,sin=,(其中 00但 x3+ y3+ 3=xyError! No bookmark name given.,等号当且仅当 x3= y3= 1 3 1 9 1 3 1 9 3 x3y3 1 3 时,即 x= ,y= 时成立故选 B 1 933 5设非零复数 x、y 满足 x2+xy+y2=0,则代数式+的值是( ) ( x x + y) 1990 ( y x + y) 1990 A21989 B1 C1 D
4、以上答案都不对 解: = 或 2,其中 =cos120+isin1201+2=0且 3=1 x y 若 =,则得()1990+()1990=1若 =2,则得()1990+()1990=1选 B x y 1 + 1 + 1 x y 2 1 + 2 1 2+ 1 6已知椭圆+=1(ab0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 x2 a2 y2 b2 中的( ) 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 解:+=1,由 a2b2,故得5故选 C 4 a2 1 b2 1 b2 4 b2 1 b2 5 b2 5 4 a2 1 b2 5 a2 二填空题(本题
5、满分 30 分,每小题 5 分) 1设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则 +的最小值是 1 1 + an 1 1 + bn 解 : ab()2=1, 从而 anbn1, 故 + = 1 等号当且仅当 a=b=1 a+b 2 1 1 + an 1 1 + bn 1 + an+ 1 + bn 1 + an+ bn+ anbn 时成立即所求最小值=1 2设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t60),cos(2t60)为动点,则当 t 由 15变到 45时,线段 AP 扫过的面积是 解:点 P 在单位圆上,sin(2t60)=cos(1502t),cos(2t60)=s
6、in(150 2t).当 t 由 15变到 45时,点 P 沿单位圆从( ,)运动到( ,) 线段 AP 扫过 1 2 3 2 1 2 3 2 的面积=扇形面积= 1 6 3设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成 立,则 n 的最小值是 解 : (x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅当 x=y=z 时成立故 n=3 4对任意正整数 n,连结原点 O 与点 An(n,n+3),用 f(n)表示线段 OAn上
7、的整点个数(不计端点),试求 f(1)+f(2)+f(1990) 解 线段 OAn的方程为 y=x(0xn),故 f(n)等于该线段内的格点数 n + 3 n 若 n=3k(kN+),则得 y=x (0xn)(kN*),其内有两个整点(k,k+1),(2k,2k+2),此时 f(n)=2 ; k + 1 k 若 n=3k1(kN+)时,则由于 n 与 n+3 互质,故 OAn内没有格点,此时 f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=1326 1990 3 5设 n=1990,则 (13C +32C33C +3994C3995C= 1 2n 2 n 4 n 6 n 1998 n 1
8、990 n 解:取( +i)1990展开的实部即为此式而( +i)1990= +i故原式= 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 68 个女孩与 25 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 解:每个女孩与其后的两个男孩组成一组,共 8 组,与余下 9 个男孩进行排列,某个女孩始终站第一 个位子,其余 7 组在 8+91 个位子中选择 7 个位子,得 C=C种选法 7 8 + 91 7 16 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 7 个女孩可任意换位,25 个男孩也可任意换位,故共
9、得 C 7!25!种排列方法 7 16 三(本题满分 20 分) 已知 a,b 均为正整数,且 ab,sin=,(其中 01 QH MQ AE MA MQAE MA 1 2 2 10 2 5 5 2 即 O 与平面 MAB 的距离r,同理 O 与平面 MCD 的距离r故球 O 是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径=12 H D E F M O Q P R B C A 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 (10 月 14 日上午 10301230) 一(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、C
10、DP 和 DAP 的外接圆 圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O 为ABC 的外心, OA=OB O1为PAB 的外心,O1A=O1B OO1AB 作PCD 的外接圆O3,延长 PO3与所作圆交于点 E,并与 AB 交 于点 F,连 DE,则1=2=3,EPD=BPF, PFB=EDP=90 PO3AB,即 OO1PO3 同理,OO3PO1即 OO1PO3是平行四边形 O1O3与 PO 互相平分,即 O1O3过 PO 的中点 同理,O2O4过 PO 中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点 二(本题满分 35 分) 设 E=1,2,3,200,
11、G=a1,a2,a100 E 且 G 具有下列两条性质: 对任何 1i395,故每排至少可坐 5 所学校的学生 1990=19910,故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制,则全部学生只要坐在 10 排 就够了 现让这些学生先按学校顺序入坐,从第一排坐起,一个学校的学生全部坐好后,另一个学校的学生接 下去坐,如果在某一行不够坐,则余下的学生坐到下一行这样一个空位都不留,则坐 10 排,这些学生就 全部坐完这时,有些学校的学生可能分坐在两行,让这些学校的学生全部从原坐处起来,坐到第 11、12 排去由于,这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、第九行末尾与 第十行开头这 9 处发生,故需要调整的学校不超过 10 所,于是第 11、12 行至多各坐 5 所学校的学生,就 可全部坐完这说明 12 行保证够坐 其次证明,11 行不能保证就此学生按条件全部入坐:199=633+11990=3458+18 取 59 所学校,其中 58 所学校 34 人,1 所学校 18 人则对前 58 所学校的学生,每排只能坐 5 所学校 而不能坐 6 所学校故 11 排只能坐其中 55 所学校的学生即 11 排不够坐 综上可知,最少要安排 12 横排才能保证全部学生都能坐下
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