1992年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的 距离,则|A1B1|+|A2B2|+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 1991 1992 1992 1993 1991 1993 1993 1992 2已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x)(y)=01y21x2
2、1y21x2 (C)(x+)(y)=0 (D)(x)(y+)=01y21x21y21x2 3设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 =(Si)/S,则 一定满足 4 i = 1 ( ) (A)21) 2.用数学归纳法证明: fn(x)= ynC 1 n1yn2+ + (1)iC i ni yn2i+ + (1) n 2 ,(i=1,2, f(n,2),n为偶数) ynC 1 n1yn2+ + (1)iC i ni+ + (1) n1 2 C n1 2 n + 1 2 y,(i=1,2,f(n1,2),n为奇数) 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可
3、打印 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 一、 (35 分) 设 A1A2A3A4为O 的内接四边形, H1、 H2、 H3、 H4依次为A2A3A4、 A3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的垂心求证:H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置 二、(35 分) 设集合 Sn=1,2,n若 X 是 Sn的子集,把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”(规定空集的 容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集 1求证 Sn的奇子集与偶子集个数相等 2求证:当 n3 时,Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3
4、当 n3 时,求 Sn的所有奇子集的容量之和 三、(35 分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三点不在同一条直线上试证:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于 2 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1992 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1 与
5、 x 轴交于 An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的 距离,则|A1B1|+|A2B2|+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 1991 1992 1992 1993 1991 1993 1993 1992 解:y=(n+1)x1)(nx1), |AnBn|= ,于是|A1B1|+|A2B2|+|A1992B1992|=,选 B 1 n 1 n + 1 1992 1993 2已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x)(y)=01y21x21y21x2 (C)(x+)(y)=0 (
6、D)(x)(y+)=01y21x21y21x2 解:(x)=0 表示 y 轴右边的半圆,(y+)=0 表示 x 轴下方的半圆,故选 D1y21x2 3设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 =(Si)/S,则 一定满足 4 i = 1 ( ) (A)2=2() 1 k 2 k + 1 +k k + 1k 于是得 2()1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)= ynC 1 n1yn2+ + (1)iC i ni yn2i+ + (1) n 2 ,(i=1,2, f(n,2),n为偶数) ynC 1 n1yn2+ + (1)iC i ni+ + (1) n1
7、2 C n1 2 n + 1 2 y,(i=1,2,f(n1,2),n为奇数) 证明: 由 yfn(x)fn1(x)= =fn+1(x)故证 (x + )(xn + 1xn1)xn+ xn xx1 xn + 2xn2 xx1 f1(x)= x+ ,f2(x)=x2+1+x2=(x+ )21=y21故命题对 n=1,2 成立 1 x 1 x 设对于 nm(m2,m 为正整数),命题成立,现证命题对于 n=m+1 成立 1 若 m 为偶数,则 m+1 为奇数由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m1,有 fm(x)= ymCym2+C ym4+(1)iCym2i+(1)Cy 1 m1 2 m2 i
8、mi m 2 m 2 mm 2 m2 m 2 fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)Cy 1 m1 i1 mi m2 2 m2 2 m 2 K P Q R l m l D E F A B C 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 yfm(x)fm1(x)=ym+1+(1)i(C+C)ym+12i+(1) (C+C)y i mi i1 mi m 2 m 2 mm 2 m 21 mm 2 = ym+1Cym1+(1)iCym+12i+(1) Cy 1 m + 11 i mi + 1 m 2 m 2 m 2 + 1 即命题对 n=m+1 成立 2若 m 为奇数
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