1999年全国高中数学联赛试卷及答案.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1999 年全国高中数学联赛试题1999 年全国高中数学联赛试题 第一试第一试 一、选择题一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错 或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1 给 定 公 比 为q(q1)的 等 比 数 列 an, 设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, , bn=a3n2+a3n1+a3n,,则数列bn 【答】 ( ) (A) 是等
2、差数列 (B) 是公比为 q 的等比数列 (C) 是公比为 q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列 2 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (|x|1)2+(|y|1)22 的整点(x,y)的个数是 【答】 ( ) (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25 3 若(log23)x(log53)x(log23)(log53),则 【答】 ( ) yy (A) xy0 (B) x+y0 (C) xy0 (D) x+y0 4 给定下列两个关于异面直线的命题: 命题:若平面上的直线 a 与平面上的直线 b 为异面直线,直线 c 是与的交线, 那么
3、,c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。 那么 【答】 ( ) (A) 命题正确,命题不正确 (B) 命题正确,命题不正确 (C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确 5 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的 场数是 【答】 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 6 已知点 A(1,2),过点(5,2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B,C,那么,ABC 是 (A) 锐角三
4、角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】 ( ) 二、填空题二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 已知正整数 n 不超过 2000, 并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和, 那么, 这样的 n 的个数是_. 8.已知=arctg,那么,复数的辐角主值是_. 12 5 i i z 239 2sin2cos 9.在ABC 中,记 BC=a,CA=b,AB=c,若 9a2+9b219c2=0,则=_. BA C ctgctg ctg 10. 已知点 P 在双曲线上, 并且 P 到这条双曲线的右准线的距离
5、恰是 P 到这条1 916 22 yx 双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P 的横坐标是_. 11. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的 3 个不同的元素,并 且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是_. 12. 已知三棱锥 SABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是SBC 的垂心, 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 二面角 HABC 的平面角等于 30, SA=2。 那么三棱锥 SABC 的体积为_.3 三、解答题三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 已知当 x
6、0,1时,不等式恒成立,试求的取值范0sin)1 ()1 (cos 22 xxxx 围。 14. 给定 A(2,2),已知 B 是椭圆上的动点,F 是左焦点,当|AB|+|BF|取最小1 1625 22 yx 3 5 值时,求 B 的坐标。 15. 给定正整数 n 和正数 M, 对于满足条件M 的所有等差数列 a1,a2,a3,., 试求 2 1 2 1 n aa S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。 第二试试题第二试试题 一、 (满分 50 分) 如图, 在四边形 ABCD 中, 对角线 AC 平分BAD。 在 CD 上取一点 E, BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC
7、于 G。求证:GAC=EAC. 二、(满分 50 分) 给定实数 a, b, c,已知复数 z1 , z2 , z3 满足: ,求|az1+bz2+cz3|的值。 1 1| 1 3 3 2 2 1 321 z z z z z z zzz 三、 (满分 50 分) 给定正整数 n, 已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称 出质量为 1,2,3,n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f(n); (2)当且仅当 n 取什么值时, 上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结 论。 A B C D E F G 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1999
8、年全国高中数学联合竞赛答案 一、选择题 题号123456 答案CABDBC 提示: 1.(C). 由题设, 1 1 n n qaa 因此,是公比为的等比数列. n b 3 q 2.(A) 由,可得(|x|-1,|y|-1)为(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1,21|1| 22 yx 0)或(-1,0).从而,不难得到(x,y)共有 16 个. 3.(B) 记 f(t)= ,则 f(t)在 R 上是严格增函数.原不等式即t t 3log3log 52 f(x)f(-y). 故 x-y,即 x+y0. 4.(D). 易知命题不正确;又可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直
9、线, 且使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都是异面直线,从而命题也不正确. 5.(B) 设这三名选手之间的比赛场数是 r,共 n 名选手参赛.由题意,可得 ,即=44+r.由于 0r3,经检验可知,仅当 r=1 时,n=13506 2 3 rCn 2 43nn 为正整数. 6.(C) 设 B(t 2,2t),C(s 2,2s),st,s1,t1,则直线 BC 的方程为,化得 2x-(s+t)y+2st=0. 由于直线 BC 过点(5,-2),故 25-(s+t)(-2)+2st=0,即(s+1)(t+1)= - 4. 因此,,所以,BAC=90,从而ABC 是直角三角形. 1 11
10、4 st kk ACAB 二、填空题 题号789101112 答案6 5 64 43 提示:7. 6. 首项为 a 为的连续 k 个正整数之和为 2 1 2 12 kkkka Sk 由 Sk2000,可得 60k62. 当 k=60 时,Sk=60a+3059,由 Sk2000,可得 a3,故 Sk=1830,1890,1950; 当 k=61 时,Sk=61a+3061,由 Sk2000,可得 a2,故 Sk=1891,1952; 当 k=62 时,Sk=62a+3161,由 Sk2000,可得 a1,故 Sk=1953. 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 于是,题中的 n
11、 有 6 个. 8. z 的辐角主值 argz=arg(12+5i)2 (239-i) 4 =arg(119+120i) (239-i) =arg28561+28561i= 4 9. . 10.记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、c,离心率为 e,点 P 到右准线 l 的 距离为 d,则 a=4, b=3, c=5, ,右准线 l 为. 如果 P 在双曲线右支,则 |PF1 |=|PF2 |+2a=ed+2a. 从而,|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d, 这不可能;故 P 在双曲线的左支,则 |PF2|PF1|=2a , |PF1|+|PF2|=2d. 两式
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