2003年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 2003 年全国高中数学联合竞赛试卷2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试第一试 (10 月 12 日上午 8:009:40) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1(2003 年全国高中数学联赛)删去正整数数列 1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数 列这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2设 a,bR,ab0,那么直线 axy+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 3过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线,若此直线与抛物
2、线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 (A) (B) (C) (D) 8 16 3 8 3 16 3 33 4若 x, ,则 y=tan(x+)tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 5 12 3 2 3 6 6 (A) (B) (C) (D) 12 5 2 11 6 2 11 6 3 12 5 3 5已知 x,y 都在区间(2,2)内,且 xy=1,则函数 u=+的最小值是 4 4x2 9 9y2 (A) (B) (C) (D) 8 5 24 11 12 7 12 5 6在四面体 ABCD 中, 设 AB=1,CD=,直线 AB 与 CD
3、 的距离为 2,夹角为 ,则四面体 ABCD3 3 的体积等于 (A) (B) (C) (D) 3 2 1 2 1 3 3 3 二填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7不等式|x|32x24|x|+3mn0 已知=, 其中x=xx, 而x表示不超过 x 的最大整数 求这种三角形周长的最小值 3l 104 3m 104 3n 104 三、 (本题 50 分) 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形,其中 n=q2+q+1,l q(q+1)2+1,q2,q 1 2 N已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q+2 条连线段证明:图中必存 在一个空间四边形
4、(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC、CD、DA 组成的图形) 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1997 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1删去正整数数列 1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 解:452=2025,462=2116 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个,而 2026 至 2115 之间没有完全平方数故 1 至 2025 中共有新 数列中的 202545=1980 项还缺 200
5、31980=23 项由 2025+23=2048知选 C 2设 a,bR,ab0,那么直线 axy+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 解:曲线方程为 + =1,直线方程为 y=ax+b x2 a y2 b 由直线图形,可知 A、C 中的 a0,C 图的 b0,ba)为长轴的椭圆 C 而 MN 上任一异于 P 的点 Q, 都有 OQ+QA=OQ+QAOA 故点 Q 在椭圆 C 外即折痕上所有的点都在椭圆 C 上及 C 外 反之, 对于椭圆 C 上或外的一点 S, 以 S 为圆心, SA 为半径作圆, 交O 于 A,则 S 在 AA的垂直平分线上,从而 S 在某条折痕上 最后证明所作
6、S 与O 必相交 1 当 S 在O 外时,由于 A 在O 内,故S 与O 必相交; 2 当 S 在O 内时(例如在O 内, 但在椭圆 C 外或其上的点 S), 取过 S的半径 OD, 则由点 S在椭圆 C 外, 故 OS+SAR(椭圆的长轴) 即 SASD 于是 D 在S内或上, D S M N S Q P A OA 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 即S与O 必有交点 于是上述证明成立 综上可知,折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 加试题 (10 月 12 日上午 10:0012:00) 一、 (本题
7、50 分) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A、B,所作割线交圆于 C、D 两点,C 在 P、D 之 间在弦 CD 上取一点 Q,使DAQ=PBC 求证:DBQ=PAC 分 析 : 由 PBC= CDB, 若 DBQ= PAC= ADQ, 则 BDQ DAQ 反 之 , 若 BDQ DAQ则本题成立而要证BDQDAQ,只要证=即 BD AD DQ AQ 可 证明:连 AB PBCPDB, =,同理,= BD BC PD PB AD AC PD PA PA=PB, = BD AD BC AC BAC=PBC=DAQ,ABC=ADQ ABCADQ = = BC AC DQ AQ
8、BD AD DQ AQ DAQ=PBC=BDQ ADQDBQ DBQ=ADQ=PAC证毕 二、 (本题 50 分) 设三角形的三边长分别是正整数 l,m,n且 lmn0 已知=, 其中x=xx, 而x表示不超过 x 的最大整数 求这种三角形周长的最小值 3l 104 3m 104 3n 104 解:当 3l、3m、3n的末四位数字相同时,= 3l 104 3m 104 3n 104 即求满足 3l3m3n( mod 104)的 l、m、n 3n(3ln1)0 (mod 104)(ln0) 但 (3n,104)=1,故必有 3ln1(mod 104);同理 3mn1(mod 104) 下面先求满
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