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1、数与数系的发展,主要内容 原始人类的数感(Number Sence) 数的抽象概念与数的符号 数域扩张(简称“扩域”)形成五大数系 公理化的方法创造超复数 四元数 一一对应的计数方法 超限数的连续假设,http:/ 数的起源,“数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为:依赖于本能感觉,形成一一对应的计数方法,建立集合的等价关系并给出其一个标准(或代表集合)规定符号。,http:/ 数感,数感,即感知事物多少的心理能力。 原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识 某些鸟类和黄蜂具有数感,例如,乌鸦的数感,http:/ 一一对应计数法与进位制,一
2、一对应的计数方法 例如,是用手指计数物体的个数 荷马(约公元前98世纪)的诗史中,独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数 一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念, 它是数概念发展的重要途径。,http:/ 当计数较多的实物时,人类学会了一次用更大的单位计数的方法。 如,五进制:一五,一十,十五,二十, 十进制,这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称,而从11开始,就用10的进位表示了。在英语中,eleven意指“剩下”或“比10多1”,twelve意指“比10多2”,thirteen即“3和10”,;twenty意指“两个10 ”,而hundred则指“10
3、个10”。,http:/ 玛雅数系中的二十进位制 计算机技术中的二进位制 进位制的转化 例如,四进制数(3021)4转化为十进制数的方法为: (3021)4=343+042+14+2=198,http:/ 度量的数,使用具有确定标准的容器、长度(称为单位)等去度量,度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念,http:/ 在古代中国的“黄钟起度”的传说,图3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图;中间大的圆柱为斛量,中间底部圆柱形为斗,左右两边各有一耳,都呈圆柱形,左耳为升量,右耳上为合量、下为龠量。,http:/ 怀特海
4、(18611947):“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。 教育的启示 学会1、2、3,的概念,并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反,当人们接触到数的符号或名称时,仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。,http:/ 神秘的数,神秘数广泛存在于古代人类社会,数字在这里不表示什么同类的序列,也不用于最简单的数学运算,而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物,它便通过宗教、神话来影响人类的生活。 原始人类对自然的认识是有限的,往往借助数这个思维的抽象物,来解释世界上无法理解或控制的各种
5、现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。,http:/ “九天”;地为“九州”,并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜,铸造九鼎,以九鼎象征九州,向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期,用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出,神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。,http:/ 结绳与书契 结绳记数成为人类早期表示记数的方法 图3.2台湾高山族的结绳(现藏中央民族大学) 中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。,http:/ 如,在青海,1974年至1978年出土一批带刻口的骨片,是新 石器时代末期用于记事、记数的实物。,http:/ 如,在西安半坡人
6、的遗址(距今约50006000年)中,发现陶器上刻的符号中有数字符号: “”(五)、“”(六)、“”(七)、“”(八)、“”(十)、“”(二十),http:/ “金文”(“钟鼎文”或“彝铭”)的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字(尽管表达形式尚不统一)都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制,但在沿袭前人数字符号表示法的基础上,又创造了百、千、万等数字名称。,表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程,一直到1522年所谓阿拉伯数码(叫印度数码更确切些)才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采用阿拉伯数码,但数的写法还是竖写,直到20世纪才采用现代写法。,http
7、:/ 位值制记数法,十进制的位值记数法,它不仅采用十进制,而且在不同位置上的数码,表示这个数码与10的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。,http:/ 筹式的数码有纵、横两种形式: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式,http:/ 例如197和1907的筹式分别表示为 和,http:/ 如罗马数字采用五进累加制,它用大写拉丁字母表示数的单位:I(1),V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)。在表示其它数时,大单位在左,小单位在右,表示累加,如V(7); 若大单位在右、小单位在左,表示减法,如IV(4)。,http:/ 一方面,60以上
8、的数目依定位原则写出;另一方面,60以内的数则按照以十进制的简单分群数系写出,如 524,551=2603+25602+4260+31= 其中分别代表1和10 。,http:/ 另外,埃及人比较习惯于从右往左写,而我们写这个数,还是从左往右。,http:/ 43,480=618202+01820+1420。 当然,古代玛雅人没有计算符号,其数字是由表示6、0、14的符号自上而下排列的。,http:/ 十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,http:/ 甲骨文中的干支表拓片 如图3.4。这些干支表尽管都有些残损,但从排列上看,全
9、是由上到下竖行排列,而且都是甲起头,10对一行,排列整齐,说明商代人已有了序数的概念。,甲骨文中的干支表,http:/ 据考证,中国古代自春秋时期鲁隐公三年(公元前720年)二月己巳日(这天发生一次全日食)起,就开始连续使用干支纪日,直至清末,2600年从未间断,这是世界上使用时间最长的纪日法。 干支纪年,我们今天仍用在农历纪年上,近代史上许多重大事件,也常以该事件发生的干支年号来命名,如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。,http:/ 数系在计算中发展,3.3.1负数 在中国传统数学中,较早形成负数和相关运算法则。 九章算术方程章中提出了负数的概念以及它们的运算法则:
10、“异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”。在古代演算使用算筹进行的。为了区分正负数,刘徽在注文中说“正算赤,负算黑,否则以斜正为异。”如 表示+6, 表示6。,http:/ 帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数,他说如果(1):1 = 1:(1),那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢? 英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大(1655)。他对此解释道:因为时,。而负数 故。 英国著名代数学家德摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点:“父亲56岁,其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍?”他列方程56 + x = 2(29 + x),开
11、解得x = 2。他称此解是荒唐的。 当然,欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立,负数在逻辑上的合理性才真正确立。,http:/ 图3.5 黄金比的几何作图法(一) 毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形 的三边不能用整数或整数之比来表示的事实,http:/ 在古希腊几何学家试图作正五 边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形,只要能作出360的角即可,因为这个角的二倍(即720的角)是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为360的等腰三角形。为此,如图3.5中,设AC平分底角OAB。这时,OC=AC=AB,且BAC与AOB相似。 取OA=
12、1,设AB=x,于是有 AB/BC=OA/AB, x/(1x)=1/x, 即 x2+x1=0。 由此得到x=(1)/2。运用古希腊尺规作图的方法,不难作出这样的x:,http:/ MO=1/2,因而AM= /2,以及AB=AN=AMMN=(1)/2=x。 这里的无理数x被称为“黄金比”(有的资料上把它的倒数(+1)/21.618称为“黄金比”),它在自然界中,以及在科学和艺术中,处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。,http:/ 无理数最早出现在中国九章算术中时,丝毫没有引起人们的异议。九章算术的开方术中说:“若开不尽者,为不可开,当以面命之。”,http:/ 重要的性质:在任何两个不同
13、的正无理数之间都存在一个有理数。事实上,如果a和b(oab)表示两个无理数,且它们的小数表达式为 a=a0.a1a2 和 b=b0。b1b2, 设i是使得anbn(n=0,1,2,)的第一个n值。于是, c= b0。b1b2bi 就是a和b之间的一个有理数。,http:/ 公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根,当方程两个负根或虚根时,他就称它是不可解的。 十二世纪印度的婆什伽罗指出:“负数没有平方根,因为负数不可能是平方数” 卡当(1545)解方程得到根和。这使卡当迷惑不解,并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。 17世纪,尽管用公式法解方程时经常产生虚数,但是对它的性质
14、,当时仍没有认识。莱布尼兹说:“那个我们称之为虚的1的平方根,是圣灵在分析奇观中的超凡显示,是介于存在与不存在之间的两栖物,是理想世界的瑞兆。”,http:/ 丹麦数学家韦塞尔(1788年)做了改进:在已有数轴上,做与之垂直的虚轴,并以为单位,这样就建立了复平面,对于每个复数a+bi,都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算,这些定义在现今的教材中也仍保留着。 高斯在(1811年)提出a+bi可用点(a, b)表示,并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出,在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表示促使人们改变了
15、对虚数的神秘印象,成为直观上可以接受的数学对象。,http:/ b),i在复平面上可表示为(0,1),用有序偶给出四则运算的定义,在这种定义下,通常的结合律、交换律及分配律,都能用实数的有序偶推导出来,http:/ 哈密顿的尝试从三元数到四元数 “模法则”:两个数(a +bi + cj)、(x + yi + zj)相乘得到一个新数,它所对应的(三维空间)向量的长,恰好是原先两数所对应的向量的长的积。即对于 (a2 + b2 + c2)与(x2 + y2 + z2),是否可以找到(u, v, w),使得 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = u2 +v2 +w2。 此前,
16、勒让德就举例说明模法则在三元数域中不可能成立: 3 = 1 + 1 + 1 及21 = 16 + 4 + 1都可以表示为三个平方数的和,可是321 = 63却不能表示为三个平方数的和。理由是:凡是形如8n + 7的整数都不能表示为三个平方数的和。,http:/ ji。,http:/ 利用公理化方法构造数系 “2n元数”,并且证明了: n = 4且满足“模法则”的数是不存在的(1848年) 能保持普通代数所有基本性质不变,而比复数域更大的数系是不具备这些基本性质的。(维尔斯特拉斯,1861年) 能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域,只有四元数一种(弗罗宾纽斯,1878年) 能施行加
17、、减、乘、除的数系只有四种,他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域(1958年),http:/ 数系的公理化,复数、微积分、几何学的理论的逻辑基础都建立在实数系上。 人们用公理化方法建立实数的逻辑基础,即实数系自身的严密化 “分析的算术化”过程。在三个方面取得了进展:(1)运用公理化的方法,使实数建立在自然数系的基础之上;(2)康托的基数序数理论,将自然数建立在集合论的基础之上;(3)逻辑学家力图从逻辑命题演算的基础上导出集合论,将数学建立在纯逻辑的基础之上。这种方法尚未取得完美的结果。,http:/ (1)1是一个自然数。 (2)每一个确定的自然数a,都有一个确
18、定的后继数,而也是一个自然数。 (3)1不是任何自然数的后继数,即1。 (4)一个数只能是某一个数的后继数,或者根本不是后继数,即由=,一定能推得a = b。 (5)任何一个自然数的集合,如果包含1,并且假设包含a,也一定包含a的后继数,那么这个集合就包含所有的自然数。 上帝创造自然数;其余一切都是人为的。(克罗内克),http:/ 超限基数,无限是整个数学的基础。 无限是许多怪事和悖论栖身之处 如,芝诺悖论,表述第五公设的表述,无穷小量(第二次数学危机) 希尔伯特说:“自古以来,没有别的问题象无限这样深深地激动过人的情绪,没有别的想法象它这样富有成效地焕发过人的精神。同时,没有别的概念象它这
19、样迫切需要澄清。”,http:/ 例如,偶数集E与自然数集N、整数集Z与自然数集N的一一对应可以定义为:当nN,有E中元2 n与之对应; 当nN,有Z中与之对应。,http:/ N 构成一一对应关系的集合,就称为可列集或可数集。记为 。如, 。,http:/ A1:a11,a12,a13,a14, A2:a21,a22,a23 A3:a31,a32 A4:a41, 对于固定k,Ak的元素形如:ak1,a k2,a k3, 。我们定义一一对应 F:1,2,3, 其中F (1) = a 11, F (2) = a 12 , F (3) = a21 , F (4) = a 13, F (5) = a
20、 22, F (6) = a 31,F (7) = a 14, , 从上图可以直观看出这个映射是一一对应。因此,仍旧是可数集。 由以上的性质可以知道Q一定是可数集。,http:/ 将(0,1)上的实数用小数表示,若它们是可列的, a1 = 0. a11 a12 a13, a2 = 0. a21 a22 a23, ak= 0.ak1 ak2。 选实数Z = 0.b1 b2,定义bk = 由于至少对于第k位,bkakk,则Zak (kN)。所以(0,1)是不可列的。 于是,康托把(0,1)区间作为一个新的、更大超限基数的标准,其基数用C(英文“连续统”一词第一个字母)表示。,http:/ x(0,
21、1) 所以R与(0,1)的基数均为C, 证明,无理数集合也是不可列集。 事实上,R是由实数集与无理数集的并集构成的。如果无理数集是可列集,那么由上节康托定理可得,R是可列的。这显然矛盾。,http:/ 若集合A与B的某一子集间存在一一对应关系,则 。设,若A与B间无一一对应关系,则定理:若 且 则。 奇异的命题 如,二维平面上点的个数与一维直线上点的个数一样多 平面上全部点,以及三维立方体中的点,都只有基数C,http:/ 发展数感,“发展数感”的课程目标。在标准中对数感的学习的目标规定为: “理解数的意义;能用多种方法来表示数;能在具体情景中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算结果;并对结果的合理性做出解释。”,http:/ 1729是能用两种方法表示成两个整数立方和的最小整数。它等于13+123和93+103。 把数感与数量关系的理解与运用结合起来,培养符号感和初步的数学建模的能力,逐步使学生形成抽象的数及数量关系的认识。,http:/
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