2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第一章 1.5 1.5.3 反证法和放缩法 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 15.3 反证法和放缩法 对应学生用书P21 读教材填要点 1反证法 首先假设要证明的命题是不正确的,然后利用公理,已有的定义、定理,命题的条件逐 步分析,得到和命题的条件(或已证明过的定理,或明显成立的事实)矛盾的结论,以此说明 假设的结论不成立,从而原来结论是正确的,这种方法称为反证法 2放缩法 在证明不等式时,有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简, 达到证明目的,这种方法称为放缩法 小问题大思维 1用反证法证明不等式应注意哪些问题? 提示:用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能
2、要逐一论证,缺少任何一种可能, 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理, 且必须根据这一条件进行论证 ; 否则, 仅否定结论, 不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾, 有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的 2运用放缩法证明不等式的关键是什么? 提示:运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中 含有分式,那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小 ; 反之,如果把分母缩小,则相应 分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注
3、意不等式的变化情况,可 以与相应的函数相联系, 以达到判断大小的目的, 这些都是我们在证明中的常用方法与技巧, 也是放缩法中的主要形式 对应学生用书P21 用反证法证明否定性结论 例 1 设 a,b,c,d 都是小于 1 的正数,求证 : 4a(1b),4b(1c),4c(1d),4d(1a) 这四个数不可能都大于 1. 思路点拨 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难,因此可 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考虑采用反证法从反面入手解决 精解详析 假设 4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1,4d(1a)1,则有 a(1b) ,b(1c) , 1 4 1
4、4 c(1d) ,d(1a) . 1 4 1 4 , ,a(1b) 1 2 b(1c) 1 2 , .c(1d) 1 2 d(1a) 1 2 又,a(1b) a(1b) 2 b(1c) b(1c) 2 ,c(1d) c(1d) 2 d(1a) d(1a) 2 , , a1b 2 1 2 b1c 2 1 2 , . c1d 2 1 2 d1a 2 1 2 将上面各式相加得 22,矛盾 4a(1b),4b(1c),4c(1d),4d(1a)这四个数不可能都大于 1. (1)当证明的结论中含有“不是” , “不都” , “不存在”等词语时,适于应用反证法,因 为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法
5、证明不等式时, 推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾, 与假设矛盾, 与显然成立的事实相矛盾 1已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 anSn2. (1)求数列an的通项公式; (2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 解:(1)当 n1 时,a1S12a12,则 a11. 又 anSn2,所以 an1Sn12, 两式相减得 an1 an, 1 2 所以an是首项为 1,公比为 的等比数列, 1 2 所以 an. 1 2n1 (2)反证法 : 假设存在三项按原来顺序成等差数列, 记为 ap1, aq1, ar1(p0,且(x1)2(y1)2(z1)0 abc0 这与 abc0
6、矛盾 因此,a,b,c 中至少有一个大于 0. (1)在证明中含有“至少” 、 “至多” 、 “最多”等字眼时,或证明否定性命题、惟一性命 题时,可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾,也可以与已知矛盾,与显 然的事实矛盾,也可以自相矛盾 (2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件, 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾 2实数 a,b,c,d 满足 abcd1,acbd1.求证:a,b,c,d 中至少有一个 是负数 证明:假设 a,b,c,d 都是非负数, 即 a0,b0,c0,d0, 则 1(ab)(cd)(acbd)(a
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