2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第三章 3.1 数学归纳法原理 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 31数学归纳法原理 对应学生用书P40 读教材填要点 1数学归纳法原理 对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题 p(n), 可以用以下两个步骤来证明它的正 确性: (1)证明当 n 取初始值 n0(例如 n00,n01 等)时命题成立; (2)假设当 nk(k 为自然数,且 kn0)时命题正确,证明当 nk1 时命题也正确 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值 n0开始的所有自然数都正确 2数学归纳法的基本过程 小问题大思维 1在数学归纳法中,n0一定等于 0 吗? 提示:不一定n0是适合命题的自然数中的最小值,有时是 n00 或 n0
2、1,有时 n0值 也比较大,而不一定是从 0 开始取值 2数学归纳法的适用范围是什么? 提示:数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明 3数学归纳法中的两步的作用是什么? 提示:在数学归纳法中的第一步“验证 nn0时,命题成立” ,是归纳奠基、是推理证 明的基础第二步是归纳递推,保证了推理的延续性,证明了这一步,就可以断定这个命题 对于 n 取第一个值 n0后面的所有自然数也都成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对应学生用书P40 用数学归纳法证明恒等式 例 1 用数学归纳法证明:1 (nN 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n
3、 ) 思路点拨 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用,解答本题需要注意等式的左 边有 2n 项,右边有 n 项,由 k 到 k1 时,左边增加两项,右边增加一项,而且左、右两边 的首项不同,因此由“nk”到“nk1”时,要注意项的合并 精解详析 (1)当 n1 时,左边1 ,右边 ,命题成立 1 2 1 2 1 2 (2)假设当 nk(k1,且 kN)时命题成立,即有 1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k . 1 k1 1 k2 1 2k 则当 nk1 时, 左边1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1
4、 2k2 , 1 k2 1 k3 1 2k1 1 2k2 从而可知,当 nk1 时,命题亦成立 由(1)(2)可知,命题对一切正整数 n 均成立 (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点:一是准确表述 nn0时命题的形式,二 是准确把握由 nk 到 nk1 时,命题结构的变化特点 (2)应用数学归纳法时的常见问题 第一步中的验证,对于有些问题验证的并不是 n0,有时需验证 n1,n2. 对 nk1 时式子的项数以及 nk 与 nk1 的关系的正确分析是应用数学归纳法 成功证明问题的保障 “假设 nk 时命题成立,利用这一假设证明 nk1 时命题成立” ,这是应用数学归 纳法证明问题的核心环
5、节,对待这一推导过程决不可含糊不清,推导的步骤要完整、严谨、 规范 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1用数学归纳法证明:对任意的 nN, . 1 1 3 1 3 5 1 (2n1)(2n1) n 2n1 证明 : (1)当 n1 时,左边 ,右边 ,左边右边,等式成立 1 1 3 1 3 1 2 11 1 3 (2)假设当 nk(kN且 k1)时等式成立, 即有, 1 1 3 1 3 5 1 (2k1)(2k1) k 2k1 则当 nk1 时, 1 1 3 1 3 5 1 (2k1)(2k1) 1 (2k1)(2k3) k 2k1 1 (2k1)(2k3) k(2k3)1 (2k1
6、)(2k3) , 2k23k1 (2k1)(2k3) k1 2k3 k1 2(k1)1 所以当 nk1 时,等式也成立 由(1)(2)可知,对一切 nN等式都成立 用数学归纳法证明整除问题 例 2 求证:二项式 x2ny2n(nN)能被 xy 整除 思路点拨 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用, 解答本题需要设法将 x2n y2n进行分解因式得出 xy,由于直接分解有困难,故采用数学归纳法证明 精解详析 (1)当 n1 时,x2y2(xy)(xy), 能被 xy 整除 (2)假设 nk(k1,且 kN)时, x2ky2k能被 xy 整除, 当 nk1 时, 即 x2k2y2k2x2x2k
7、x2y2kx2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2) x2ky2k与 x2y2都能被 xy 整除, x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被 xy 整除 即 nk1 时,x2k2y2k2能被 xy 整除 由(1)(2)可知,对任意的正整数 n 命题均成立 利用数学归纳法证明整除问题时, 关键是整理出除数因式与商数因式积的形式, 这就往 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧,例如,在本例中,对 x2k2y2k2进行拼凑, 即减去 x2y2k再加上 x2y2k,然后重新组合,目的是拼凑出 nk 时的归纳假设,剩余部分仍能 被 xy
8、整除 2求证:n3(n1)3(n2)3能被 9 整除 证明:(1)当 n1 时,13(11)3(12)336,能被 9 整除,命题成立 (2)假设 nk 时,命题成立,即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 当 nk1 时,(k1)3(k2)3(k3)3 (k1)3(k2)3k33k233k3233 k3(k1)3(k2)39(k23k3) 由归纳假设,上式中 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除,又 9(k23k3)也能被 9 整除 故 nk1 时命题也成立 由(1)(2)可知,对任意 nN*命题成立. 用数学归纳法证明几何命题 例 3 平面上有 n(n2,且 nN)条直线,其中任意两
9、条直线不平行,任意三条不过 同一点, 求证:这 n 条直线被分成 f(n)n2. 思路点拨 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用,解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律,然后采用数学归纳法证明 精解详析 (1)当 n2 时, 符合条件的两直线被分成 4 段, 又 f(2)224.当 n2 时,命题成立 (2)假设当nk(k2且kN)时命题成立,就是该平面内满足题 设的任何 k 条直线被分成 f(k)k2段,则当 nk1 时,任取其中一 条直线记为 l,如图, 剩下的 k 条直线为 l1, l2,lk.由归纳假设知, 它们被分为 f(k)k2段 由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三
10、条不过同一点,所以直线 l 被 l1,l2,l3,lk分 为 k1 段,同时 l 把 l1,l2,lk中每条直线上的某一段一分为二,其增加 k 段 f(k1)f(k)k1k k22k1(k1)2. 当 nk1 时,命题成立 由(1)(2)可知,命题对一切 nN且 n2 成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对于几何问题的证明, 可以从有限情形中归纳出一般变化规律, 或者说体会出是怎么变 化的,然后再去证明,也可以采用递推的办法利用数学归纳法证明几何问题时,关键是正 确分析由 nk 到 nk1 时几何图形的变化规律 3证明:凸 n 边形的对角线的条数 f(n) n(n3)(n4) 1
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