2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第二章 2.2 排序不等式 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22排序不等式 对应学生用书P31 读教材填要点 1顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1a2a3an,b1b2b3bn是两组实数,c1,c2,c3,cn为 b1, b2,bn的任何一个排列,称 a1b1a2b2anbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称 a1bna2bn1anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称 a1c1a2c2ancn 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和) 2排序原理 设 a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是 b1,b2,bn的任 一排列,则有 a1bna2bn1anb1a1c1a
2、2c2ancna1b1a2b2anbn. 等号成立a1a2an或 b1b2bn. 排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和 小问题大思维 1排序不等式的本质含义是什么? 提示:排序不等式的本质含义是:两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两 乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中 一序列为常数序列 2 已知两组数 a1a2a3a4a5, b1b2b3b4b5, 其中 a12, a27, a38, a49, a512, b13, b24, b36, b410, b511, 将 bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为 c1, c2, c3, c4,
3、 c5, 则 a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分别为何值? 提示:由顺序和最大知 最大值为:a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304, 由反序和最小知 最小值为:a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212. 对应学生用书P31 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定) 例 1 已知 a,b,c 为正数,abc,求证: (1); 1 bc 1 ca 1 ab (2) . a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 1 a 1 b 1 c 思路点拨 本题考查排序不等式的直接应用,解答本题需要分析式子结构,然后通过 对
4、比、联想公式,构造数组,利用公式求解 精解详析 (1)ab0,于是 , 1 a 1 b 又 c0, 0.从而. 1 c 1 bc 1 ca 同理,bc0,于是 , 1 b 1 c a0, 0,于是得. 1 a 1 ca 1 ab 从而. 1 bc 1 ca 1 ab (2)由(1),于是由顺序和乱序和得, 1 bc 1 ca 1 ab a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 b5 b3c3 c5 c3a3 a5 a3b3 b2 c3 c2 a3 a2 b3( a2 b2 c2, 1 c3 1 b3 1 a3) . c2 c3 a2 a3 b2 b3 1 c 1 a 1 b 1 a 1
5、b 1 c 利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组, 由于本题已知 abc,所以可直接利用已知构造两个数组 1设 a,b,c 为正数,求证:a10b10c10. a12 bc b12 ac c12 ab 证明:不妨设 abc0, 则 a12b12c12,0, 1 bc 1 ac 1 ab 由顺序和乱序和,得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . a12 bc b12 ac c12 ab a12 ab b12 bc c12 ac a11 b b11 c c11 a 又a11b11c11, , 1 c 1 b 1 a 由乱序和反序和得: a10b10c
6、10, a11 b b11 c c11 a a11 a b11 b c11 c 由两式得:a10b10c10. a12 bc b12 ac c12 ab 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作 出假设) 例 2 设 x0,求证:1xx2xn(2n1)xn. 思路点拨 本题考查排序不等式的应用解答本题需要注意:题目中只给出了 x0, 但对于 x1,xxx2xn, 但仍然成立,于是也成立 综合(1)(2),证毕 在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有 具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论 2设 a1,a2,a
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