2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第二章 2.3~2.4 平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题优化的数学模型 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 232.4平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题,优化的数学模型 对应学生用书P33 读教材填要点 1平均值不等式 (1)定理 1(平均值不等式): 设 a1,a2,an为 n 个正数,则 , a1a2an n n a1a2an 等号成立a1a2an. 推论 1:设 a1,a2,an为 n 个正数,且 a1a2an1,则 a1a2ann. 且等号成立a1a2an1. 推论 2:设 C 为常数,且 a1,a2,an为 n 个正数;则当 a1a2annC 时, a1a2anCn, 且等号成立a1a2an. (2)定理 2: 设 a1,a2,an为 n
2、个正数,则 , n a1a2an n 1 a1 1 a2 1 an 等号成立a1a2an. (3)定理 3: 设 a1,a2,an为正数,则 , a1a2an n n a1a2an n 1 a1 1 a2 1 an 等号成立a1a2an. 推论:设 a1,a2,an为 n 个正数,则 (a1a2an)()n2. 1 a1 1 a2 1 an 2最值问题 设 D 为 f(x)的定义域,如果存在 x0D,使得 f(x)f(x0)(f(x)f(x0),xD, 则称 f(x0)为 f(x)在 D 上的最大(小)值, x0称为 f(x)在 D 上的最大(小)值点, 寻求函数的最 大(小)值及最大(小)值
3、问题统称为最值问题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 小问题大思维 1利用基本不等式求最值的条件是什么? ab 2 ab 提示:“一正、二定、三相等” ,即:(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值;(3)各项 或各因式能取得相等的值 2应用三个正数的算术几何平均不等式,求最值应注意什么? 提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值当且仅当三个正数 相等时取得. 对应学生用书P34 利用基本不等式求最值 例 1 已知 x0,y0,且 1, 1 x 9 y 求 xy 的最小值 思路点拨 本题考查基本不等式的应用,解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进 行必要的变形,
4、然后再利用基本不等式求得和的最小值 精解详析 法一:x0,y0, 1, 1 x 9 y xy( )(xy) 10 1 x 9 y y x 9x y 61016. 当且仅当 ,又 1, y x 9x y 1 x 9 y 即 x4,y12 时,上式取等号 故当 x4,y12 时,(xy)min16. (1)运用不等式求最大值、最小值,用到两个结论,简述为:“和定积最大”与“积定 和最小” (2)运用定理求最值时:必须做到“一正,二定,三相等” 1求函数 f(x)(x0)的最大值及此时 x 的值 2x2x3 x 解:f(x)1. (2x 3 x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 x
5、0,所以 2x 2, 3 x 6 得2, (2x 3 x) 6 因此 f(x)12,6 当且仅当 2x ,即 x2 时,式子中的等号成立 3 x 3 2 由于 x0,因而 x时,等号成立 6 2 因此 f(x)max12,此时 x.6 6 2 利用平均值不等式求最值 例 2 已知 x 为正实数,求函数 yx(1x2)的最大值 思路点拨 本题考查三个正数的算术几何平均不等式在求最值中的应用解答本题 要根据需要拼凑出利用其算术几何平均不等式的条件,然后再求解 精解详析 yx(1x2), y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2) . 1 2 2x2(1x2)(1x2)2, y2 3 . 1 2
6、( 2x21x21x2 3 ) 4 27 当且仅当 2x21x21x2,即 x时取“”号 3 3 y. 23 9 y 的最大值为. 23 9 (1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值,可简记为“积定和最小,和定 积最大” (2)应用算术几何平均不等式定理, 要注意三个条件即 “一正二定三相等” 同时具备时, 函数方可取得最值 其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性, 获得定值需要一定的技 巧,如:配系数、拆项、分离常数、平方变形等 (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性 2已知 x 为正实数,求函数 yx2(1x)的最大值 高清试卷 下载可打印
7、高清试卷 下载可打印 解:yx2(1x)xx(1x) xx(22x)1 2 3 . 1 2( xx22x 3 ) 1 2 8 27 4 27 当且仅当 x22x,即 x 时取等号 2 3 此时,ymax. 4 27 利用平均值不等式解应用题 例 3 已知圆锥的底面半径为 R,高为 H,求圆锥的内接圆柱体的高 h 为何值时,圆 柱的体积最大?并求出这个最大的体积 思路点拨 本题考查算术几何平均不等式在实际问题中的应用,解答本题需要作出 圆锥、圆柱的轴截面,利用相似三角形建立各元素之间的关系,然后利用算术几何平均 不等式求最大值 精解详析 设圆柱体的底面半径为 r,如图,由相似三角形的性质可得 ,
8、 Hh H r R r (Hh) R H V圆柱r2h(Hh)2h(0hH) R2 H2 根据平均不等式可得 V圆柱h 3 4R2 H2 Hh 2 Hh 2 4R2 H2( H 3) R2H. 4 27 当且仅当h,即 h H 时,V圆柱最大R2H. Hh 2 1 3 4 27 (1)在解求最值应用题时,先必须确定好目标函数,再用“平均值不等式”求最值 (2)在确定目标函数时,必须使函数成为一元函数,即只能含一个变量,否则是无法求 最值的 3如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 虚线折起, 做成一个无盖的正
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