2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第1章 1.1 1.1.2 瞬时变化率——导数 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11.2 瞬时变化率导数 曲线上一点处的切线 如图 Pn的坐标为(xn,f(xn)(n1,2,3,4),P 的坐标为(x0,y0) 问题 1:当点 Pn点 P 时,试想割线 PPn如何变化? 提示:当点 Pn趋近于点 P 时,割线 PPn趋近于确定的位置 问题 2:割线 PPn斜率是什么? 提示:割线 PPn的斜率是 kn. f(xn)f(x0) xnx0 问题 3:割线 PPn的斜率与过点 P 的切线 PT 的斜率 k 有什么关系呢? 提示:当点 Pn无限趋近于点 P 时,kn无限趋近于切线 PT 的斜率 问题 4:能否求得过点 P 的切线 PT
2、的斜率? 提示:能 1割线 设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点,这时,直线 PQ 称为曲线的割线 2切线 随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动, 割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼 近点 P 时, 直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l, 这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线. 瞬时速度与瞬时加速度 一质点的运动方程为 S83t2,其中 S 表示位移,t 表示时间 问题 1:该质点在1,1t这段时间内的平均速度是多少? 提示:该质点在1,1t这段时间内的平均速度为6 83(1t)283 12 t 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
3、印 3t. 问题 2:t 的变化对所求平均速度有何影响? 提示:t 越小,平均速度越接近常数6. 1平均速度 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 2瞬时速度 一般地,如果当 t 无限趋近于 0 时,运动物体位移 S(t)的平均变化率S(t 0t)S(t0) t 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时速度,也就是位移对于时间 的瞬时变化率 3瞬时加速度 一般地,如果当 t 无限趋近于 0 时,运动物体速度 v(t)的平均变化率v(t 0t)v(t0) t 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时加速度,也就是速度对于时 间的瞬时变化率 导 数 1导数
4、设函数 yf(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),若 x 无限趋近于 0 时,比值 y x 无限趋近于一个常数 A, 则称 f(x)在 xx0处可导, 并称该常数 A 为函数 f(x) f(x0x)f(x0) x 在 xx0处的导数,记作 f(x0) 2导数的几何意义 导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 3导函数 (1)若 f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导, 则 f(x)在各点的导数也随自变量 x 的变化而变 化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f(x),在不引起混淆时, 导函数 f(x)也简
5、称 f(x)的导数 (2)f(x)在 xx0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx0处的函数值 1利用导数的几何意义,可求曲线上在某点处的切线的斜率,然后由点斜式写出直线 方程 2 函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx0处的函数值, 所以求函 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数在一点处的导数,一般先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值 对应学生用书P5 求曲线上某一点处的切线 例 1 已知曲线 yx 上的一点 A,用切线斜率定义求: 1 x (2, 5 2) (1)点 A 处的切线的斜率; (2)点 A 处的切线方程 思路点拨 先计
6、算,再求其在 x 趋近于 0 时无限逼近的值 f(2x)f(2) x 精解详析 (1)yf(2x)f(2)2xx, 1 2x (2 1 2) x 2(2x) 1. y x x 2x(2x) x x 1 2(2x) 当 x 无限趋近于零时,无限趋近于 , y x 3 4 即点 A 处的切线的斜率是 . 3 4 (2)切线方程为 y (x2), 5 2 3 4 即 3x4y40. 一点通 根据曲线上一点处的切线的定义,要求曲线过某点的切线方程,只需求出切 线的斜率,即在该点处,x 无限趋近于 0 时,无限趋近的常数 y x 1曲线 y x22 在点 P处的切线的斜率为_ 1 2 (1, 5 2)
7、解 析 : 设 P, Q, 则 割 线 PQ 的 斜 率 为 kPQ (1, 5 2) (1x, 1 2(1x) 22) x1. 1 2(1x) 225 2 x 1 2 当 x 无限趋近于 0 时,kPQ无限趋近于1,所以曲线 y x22 在点 P处 1 2 (1, 5 2) 的切线的斜率为1. 答案:1 2已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线的斜率为 16,则 P 点坐标为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:设 P 点坐标为(x0, y0),则4x042x. f(x0x)f(x0) (x0x)x0 2(x)24x0x4x x 当 x 无限趋近于 0 时,4x042x
8、无限趋近于 4x04, 因此 4x0416,即 x03, 所以 y023243181230. 即 P 点坐标为(3,30) 答案:(3,30) 3已知曲线 y3x2x,求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程 解:设 A(1,2),B(1x,3(1x)2(1x), 则 kAB53x, 3(1x)2(1x)(3 121) x 当 x 无限趋近于 0 时,53x 无限趋近于 5,所以曲线 y3x2x 在点 A(1,2)处的切 线斜率是 5. 切线方程为 y25(x1),即 5xy30. 瞬时速度 例 2 一质点按规律 S(t)at21 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点
9、在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s,求常数 a 的值 思路点拨 先求出质点在 t2s 时的平均速度,再根据瞬时速度的概念列方程求解 精解详析 因为 SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2,所以S t 4aat. 当 t 无限趋近于 0 时,无限趋近于 4a. S t 所以 t2 s 时的瞬时速度为 4a m/s. 故 4a8,即 a2. 一点通 要计算物体的瞬时速度,只要给时间一个改变量 t,求出相应的位移的改变 量 S,再求出平均速度 ,最后计算当 t 无限趋近于 0 时,无限趋近常数,就是该v S t S t 物体在该时刻的瞬时速度 4一做直线运动的物体,其位移
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