2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 13.2 极大值与极小值 对应学生用书 P16 极 值 已知 yf(x)的图象(如图) 问题 1:当 xa 时,函数值 f(a)有何特点? 提示:在 xa 的附近,f(a)最小,f(a)并不一定是 yf(x)的最小值 问题 2:当 xb 时,函数值 f(b)有何特点? 提示:在 xb 的附近,f(b)最大,f(b)并不一定是 yf(x)的最大值 1观察下图中的函数图象,发现函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降”(函数由单调递增变为单调递减),这时在点 P 附近,点 P 的位置最高,亦即 f(x1)比它附 近点的函数值都要大,我们称
2、f(x1)为函数 f(x)的一个极大值 2类似地,上图中 f(x2)为函数的一个极小值 3函数的极大值、极小值统称为函数的极值 极值与导数的关系 观察图() 问题 1:试分析在函数取得极大值的 x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化? 提示:左侧导数大于 0,右侧导数小于 0. 问题 2:试分析在函数取得极小值的 x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化? 提示:左侧导数小于 0,右侧导数大于 0. 1极大值与导数之间的关系如下表: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 xx1左侧x1x1右侧 f(x)f(x)0f(x)0f(x)0 f(x)减极小值 f(x2)增 1 极值是一个局部概念,
3、 它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在整个定义域内是最大或最小 2函数的极值并不惟一(如图所示) 3 极大值和极小值之间没有确定的大小关系, 如图所示, f(x1)是极大值, f(x4)是极小值, 而 f(x4)f(x1) 对应学生用书P17 求函数的极值 例 1 求下列函数的极值: (1)f(x)x33x29x5; (2)f(x). ln x x 思路点拨 按求函数极值的步骤求解,要注意函数的定义域 精解详析 (1)函数 f(x)x33x29x5 的定义域为 R, 且 f(x)3x26x9.解方程 3x26x90,得 x11,x23. 当 x 变化时,f(x
4、)与 f(x)的变化情况如下表: x(,1)1(1,3)3(3,) f(x)00 f(x)极大值 10极小值22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此,函数 f(x)的极大值为 f(1)10; 极小值为 f(3)22. (2)函数 f(x)的定义域为(0,), ln x x 且 f(x). 1ln x x2 令 f(x)0,解得 xe. 当 x 变化时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表: x(0,e)e(e,) f(x)0 f(x)极大值1 e 因此函数 f(x)的极大值为 f(e) ,没有极小值 1 e 一点通 (1)求可导函数极值的步骤: 求导数 f(x); 求方程 f(x
5、)0 的根; 检查 f(x)的值在方程 f(x)0 的根左右的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根 处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值 (2)注意事项: 不要忽视函数的定义域; 要正确地列出表格,不要遗漏区间和分界点 1函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在开区间(a,b)内有_个极小值 解析:由图可知,在区间(a,x1),(x2,0),(0,x3)内 f(x)0; 在区间(x1,x2),(x3,b)内 f(x)0; 当 x(0,2)时,f(x)0. 所以 f(x)的单调增区间是(,0)和(
6、2,),减区间是(0,2);极大值为 f(0),极小值 为 f(2) 答案: 3设 f(x)aln x x1,其中 aR,曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于 y 1 2x 3 2 轴 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值 解:(1)因 f(x)aln x x1, 1 2x 3 2 故 f(x) . a x 1 2x2 3 2 由于曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f(1)0, 从而 a 0, 1 2 3 2 解得 a1. (2)由(1)知 f(x)lnx x1(x0), 1 2x 3 2 f(x) . 1 x 1 2x
7、2 3 2 3x22x1 2x2 (3x1)(x1) 2x2 令 f(x)0,解得 x11,x2 (因 x2 不在定义域内,舍去) 1 3 1 3 当 x(0,1)时,f(x)0, 故 f(x)在(1,)上为增函数 故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知函数极值求参数 例 2 已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0.求 a,b 的值 思路点拨 解答本题可先求 f(x),利用 x1 时有极值 0 这一条件建立关于 a,b 的方程组解方程组可得 a,b 的值,最后将 a,b 代入原函数验证极值情况 精解详析 f(x)在
8、x1 时有极值 0 且 f(x)3x26axb, Error!Error!即Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 当 a1,b3 时, f(x)3x26x33(x1)20, 所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去 当 a2,b9 时, f(x)3x212x93(x1)(x3) 当 x(,3)时,f(x)为增函数; 当 x(3,1)时,f(x)为减函数; 当 x(1,)时,f(x)为增函数 所以 f(x)在 x1 时取得极小值,因此 a2,b9. 一点通 已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注 意两点: (1)常根
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