2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.3 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 对应学生用书P50 利用数学归纳法证明几何问题 例 1 平面内有 n(nN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交 于同一点,用数学归纳法证明:这 n 个圆把平面分成 f(n)n2n2 个部分 思路点拨 分清当 n 从 k 变到 k1 时,增加了几部分 精解详析 (1)当 n1 时,f(1)12122, 一个圆把平面分成两部分,命题成立 (2)假设 nk(kN*)时,命题成立,即 k 个圆把平面分成 f(k)k2k2 个部分 当 nk1 时,第 k1 个圆与其他 k 个圆相交于 2k 个点
2、 第 k1 个圆被分成 2k 条弧,而每条弧把原区域分成 2 块,因此这个平面被分成的总区 域数增加了 2k 块, 即 f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2, 故当 nk1 时命题也成立 根据(1)和(2),可知命题对任何 nN*都成立 一点通 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项” ,即几何元素从 k 个变成(k1) 个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出 来的情况下,将 nk1 和 nk 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后 只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 1 几个半圆的圆心在同一条直线
3、 l 上, 这几个半圆每两个都相交, 且都在直线 l 的同侧, 求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为 f(n)n2.(n2,nN*) 证明: (1)如图,n2 时,两个半圆交于一点, 则分成 4 段圆弧,故 f(2)422. (2)假设 nk 时,f(k)k2成立, 当 nk1 时,第 k1 个半圆与原 k 个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆 不能交于一点,所以第 k1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧, 这样就多出 k 条圆弧,另外原 k 个半圆把 k1 个半圆分成 k1 段,这样又多出了 k1 段 圆弧 所以 f(k1)k2k(k1)k22k1(k1
4、)2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(1),(2)可知命题得证 利用数学归纳法证明整除问题 例 2 用数学归纳法证明 f(n)352n123n1对任意正整数 n,都能被 17 整除 思路点拨 证明整除性问题的关键是在命题 f(k1)中拼凑出 f(k)的表达式,分析其余 项能被 17 整除就可以了 精解详析 (1)当 n1 时, f(1)353241723,能被 17 整除,命题成立 (2)假设当 nk(k1,kN*)时, f(k)352k123k1能被 17 整除 则当 nk1 时, f(k1)352k323k4 52352k12323k1 25352k1823k1 1735
5、2k18(352k123k1) 17352k18f(k) 由归纳假设, f(k)能被 17 整除, 17352k1也能被 17 整除, 所以 f(k1)能被 17 整除 由(1)和(2)可知,对任意 nN*,f(n)都能被 17 整除 一点通 证明整除性问题的关键是“凑项” ,即 f(k1)的式子中“凑”出 f(k)的形式, 常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段,凑完项后式子总会含有两部分,一部分是归纳 假设,即 f(k)另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量 2求证:an1(a1)2n1能被 a2a1 整除,nN*. 证明:(1)当 n1 时,a11(a1)211a2a1,命题显然成立
6、 (2)假设 nk 时,ak1(a1)2k1能被 a2a1 整除,则当 nk1 时, ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设知,上式中的两部分均能被 a2a1 整除, 故 nk1 时命题成立 根据(1)(2)知,对任意 nN*,命题成立 3用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,f(n)32n28n9 能被 64 整除 证明:(1)当 n1 时,f(1)348964,命题显然成立 (2)假设当 nk(k1,kN*)时, f(k)32k28k9 能被 64
7、整除 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则当 nk1 时,f(k1)32(k1)28(k1)9 9(32k28k9)98k998(k1)9 9(32k28k9)64(k1) 9f(k)64(k1) nk1 时命题也成立 由(1)(2)可知,对任意的 nN*,命题都成立 归纳猜想证明 例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a11,Snn2an(nN*) (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an的表达式 思路点拨 令n1,2,3, 求a2,a3,a4 由a2,a3,a4的式 子结构猜想an 数学归纳法证明 精解详析 (1)a
8、nSnSn1(n2), Snn2(SnSn1) SnSn1(n2), n2 n21 a11,S1a11, S2 ,S3 ,S4 , 4 3 3 2 6 4 8 5 猜想 Sn. 2n n1 (2)证明:当 n1 时,S11 成立 假设 nk(k1,kN*)时,等式成立, 即 Sk, 2k k1 当 nk1 时, Sk1(k1)2ak1 ak1Skak1, 2k k1 ak1, 2 (k2)(k1) Sk1(k1)2ak1, 2(k1) k2 2(k1) (k1)1 nk1 时等式也成立,得证 根据、可知,对于任意 nN*,等式均成立 又ak1, 2 (k2)(k1) 高清试卷 下载可打印 高清
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