2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第4章 4.1 导数概念 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 41导数概念导数概念 读教材读教材填要点填要点 1物体在任意时刻的瞬时速度物体在任意时刻的瞬时速度 若物体的运动方程为若物体的运动方程为 sf(t), 则物体在任意时刻, 则物体在任意时刻 t 的瞬时速度的瞬时速度 v(t), 就是平均速度, 就是平均速度 v(t, d) 在在 d 趋于趋于 0 时的极限时的极限 f td f t d 2函数函数 yf(x)的曲线上任一点处的切线斜率的曲线上任一点处的切线斜率 函数函数 yf(x)的曲线上任一点的曲线上任一点 P(u, f(u)处的切线的斜率处的切线的斜率 k(u), 就是过, 就是过 P(u, f(
2、u), Q, Q(ud, f(ud)两点割线两点割线 PQ 的斜率Q 的斜率 k(u,d)在在 d 趋于趋于 0 时的极限时的极限 f ud f u d 3导数的概念导数的概念 (1)函数函数 yf(x)在点在点 xx0处的导数:处的导数: 设函数设函数 yf(x)在包含在包含 x0的某个区间上有定义,如果比值在的某个区间上有定义,如果比值在 d 趋于趋于 0 时时 f x0d f x0 d (d0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数趋于确定的极限值,则称此极限值为函数 f(x)在在 xx0处的导数或微商,记作处的导数或微商,记作 f(x0), 简述为: , 简述为:f(x0)(d0) f
3、x0d f x0 d (2)导函数:导函数: 当当 x0为为 f(x)的定义区间中的任意一点,即为的定义区间中的任意一点,即为 x,而,而 f(x)也是也是 x 的函数,叫作的函数,叫作 f(x)的导 函数或一阶导数,若 的导 函数或一阶导数,若 f(x)在在 x 处又可导,则它的导数叫作处又可导,则它的导数叫作 f(x)的二阶导数,记作的二阶导数,记作 f(x), 类似地,可以定义三阶导数类似地,可以定义三阶导数 f(x)等等等等 小问题小问题大思维大思维 1若函数若函数 f(x)在在x1,x2内差商为内差商为 0,能否说明函数,能否说明函数 f(x)没有变化?没有变化? 提示 : 不能说明
4、理由 : 函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势,步长提示 : 不能说明理由 : 函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势,步长 d 取值越小, 越能准确地体现函数的变化情况在某些情况下,求出的差商为 取值越小, 越能准确地体现函数的变化情况在某些情况下,求出的差商为 0,并不一定说明函数没有 发生变化如函数 ,并不一定说明函数没有 发生变化如函数 f(x)x2在在2,2上的差商为上的差商为 0,但,但 f(x)的图象在的图象在2,2上先减后增上先减后增 2.函数函数 yf(x)的部分图象如图, 根据导数的几何意义, 你能比较的部分图象如图, 根据导数的几何意义, 你能比较 高清试卷 下载可打印
5、 高清试卷 下载可打印 f(x1), f(x2)和和 f(x3)的大小吗?的大小吗? 提示:根据导数的几何意义,提示:根据导数的几何意义, 因为在因为在 A,B 处的切线斜率大于零且处的切线斜率大于零且 kAkB, 在在 C 处的切线斜率小于零,处的切线斜率小于零, 所以所以 f(x1)f(x2)f(x3) 3f(x0)与与 f(x)的区别是什么?的区别是什么? 提示:提示:f(x)是函数是函数 f(x)的导函数,简称导数,是对一个区间而言的,它是一个确定的 函数,依赖于函数本身,而与 的导函数,简称导数,是对一个区间而言的,它是一个确定的 函数,依赖于函数本身,而与 x0,d 无关;无关;f
6、(x0)表示的是函数表示的是函数 f(x)在在 xx0处的导数,是 对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及 处的导数,是 对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及 x0的位置有关,而与的位置有关,而与 d 无关无关 求函数在某一点处的导数求函数在某一点处的导数 求函数求函数 f(x)2x24x 在在 x3 处的导数处的导数 自主解答自主解答 法一: 法一:f(3d)f(3)2(3d)24(3d)(23243) 12d2d24d 2d216d, 2d16. f 3d f 3 d 2d216d d d0 时,时,f(3)16. 法二:法二: 2 x d 2 4 xd 2x2 4x
7、 d 4xd2d24d d 4x2d44x4(d0), 即即 f(x)4x4, f(3)43416. 在本例中,若函数在在本例中,若函数在 xx0处的导数是处的导数是 8,求,求 x0的值的值 解:根据导数的定义,解:根据导数的定义, f xd f x d 2 x d 2 4 xd 2x2 4x d 4xd 2d24d d 4x2d44x4(d0), f(x)4x4. 令令 f(x0)4x048, 解得解得 x01. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 根据导数的定义,求函数根据导数的定义,求函数 yf(x)在点在点 x0处的导数的步骤处的导数的步骤 (1)求函数的差分求函数的差分 f
8、(x0d)f(x0); (2)求差商;求差商; f x0d f x0 d (3)取极限,取极限,d0 得导数得导数 f(x0) 1求函数求函数 f(x)x 在 在 x1 处的导数处的导数 1 x 解:解:f(1d)f(1)(1d)d, 1 1 d ( (1 1 1) ) d 1 d 1, f 1d f 1 d d d 1 d d 1 1 d d0 时,时,f(1)112. 求瞬时速度求瞬时速度 一条水管中流过的水量一条水管中流过的水量 y(单位:单位:m3)是时间是时间 t(单位:单位:s)的函数,且的函数,且 yf(t)3t. 求函数求函数 yf(t)在在 t2 处的导数处的导数 f(2),
9、并解释它的实际意义,并解释它的实际意义 自主解答自主解答 根据导数的定义, 根据导数的定义, 3, f 2d f 2 d 3 2d 3 2 d f(2)3. f(2)的意义是 : 水流在的意义是 : 水流在 2 s 时的瞬时流量为时的瞬时流量为 3 m3/s,即如果保持这一速度,每经过,即如果保持这一速度,每经过 1 s, 水管中流过的水量为 , 水管中流过的水量为 3 m3. 求瞬时速度的步骤求瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系求物体运动路程与时间的关系 ss(t); (2)求时间改变量求时间改变量 d,位移改变量,位移改变量 ss(t0d)s(t0); (3)求平均速度;求平
10、均速度; s d (4)求瞬时速度,求瞬时速度,vli .m d0 s d 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2 一辆汽车按规律 一辆汽车按规律 s2t23 作直线运动, 求这辆车在作直线运动, 求这辆车在 t2 时的瞬时速度时的瞬时速度(时间单位 :时间单位 : s, 位移单位: , 位移单位:m.) 解:设这辆车在解:设这辆车在 t2 附近的时间步长为附近的时间步长为 d, 则位移的差分则位移的差分2(2d)23(2223)8d2d2, 差商差商82df(2)8(d0) 所以这辆车在所以这辆车在 t2 时的瞬时速度为时的瞬时速度为 8 m/s. 确定或应用曲线的切线方程确定或应用
11、曲线的切线方程 抛物线抛物线 yx2在点在点 P 处的切线与直线处的切线与直线 4xy20 平行, 求平行, 求 P 点的坐标及切线点的坐标及切线 方程方程 自主解答自主解答 设 设 P 点坐标为点坐标为(x0,y0), x d 2 x2 d 2xd d2 d 2xdy2x(d0), 切线的斜率为切线的斜率为 k2x0. 又由切线与直线又由切线与直线 4xy20 平行,平行, 2x04,x02. P(2,y0)在抛物线在抛物线 yx2上,上, y04.点点 P 的坐标为的坐标为(2,4) 切线方程为切线方程为 y44(x2) 即即 4xy40. 若将本例中的“平行”改为“垂直” ,其它条件不变
12、,如何求解?若将本例中的“平行”改为“垂直” ,其它条件不变,如何求解? 解:设解:设 P 点坐标为点坐标为(x0,y0), x d 2 x2 d 2xd d2 d 2xd2x(d0), y2x,故切线斜率为,故切线斜率为 k2x0. 又切线与直线又切线与直线 4xy20 垂直,垂直, 2x0 , , 1 4 即即 x0 . 1 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y0x . 2 0 1 64 P 点坐标为点坐标为. ( ( 1 8, , 1 64) ) 切线方程为切线方程为 y, 1 64 1 4( (x 1 8) ) 即即 16x64y10. 利用导数的几何意义求切线方程的方法
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