2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第4章 4.3.2 函数的极大值和极小值 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 43.2 函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值 读教材读教材填要点填要点 1极值与极值点极值与极值点 (1)极大值点与极大值:极大值点与极大值: 设函数设函数 yf(x)在区间在区间(a,b)内有定义,内有定义,x0是是(a,b)内的一个点,若点内的一个点,若点 x0附近的函数值都 小于 附近的函数值都 小于 f(x0)(即即 f(x)f(x0),x(a,b),就说,就说 f(x0)是函数是函数 yf(x)的一个极大值,的一个极大值,x0称为称为 f(x)的的 一个极大值点一个极大值点 (2)极小值点与极小值:极小值点与极小值: 设函数设函数 y
2、f(x)在区间在区间(a,b)内有定义,内有定义,x0是是(a,b)内的一个点,若点内的一个点,若点 x0附近的函数值都 大于 附近的函数值都 大于 f(x0)(即即 f(x)f(x0),x(a,b),就说,就说 f(x0)是函数是函数 yf(x)的一个极小值,的一个极小值,x0称为称为 f(x)的的 一个极小值点一个极小值点 极大值和极小值统称极值,极大值点和极小值点统称为极值点极大值和极小值统称极值,极大值点和极小值点统称为极值点 2极大值与极小值的判断极大值与极小值的判断 (1)如果如果 f(x)在在(a,x0上递增,在上递增,在x0,b)上递减,则上递减,则 f(x)在在 xx0处取到
3、极大值;处取到极大值; (2)如果如果 f(x)在在(a,x0上递减,在上递减,在x0,b)上递增,则上递增,则 f(x)在在 xx0处取到极小值处取到极小值 3极值的求法极值的求法 (1)求导数求导数 f(x); (2)求求 f(x)的驻点,即求的驻点,即求 f(x)0 的根;的根; (3)检查检查 f(x)在驻点左右的符号,得到极大值或极小值在驻点左右的符号,得到极大值或极小值 小问题小问题大思维大思维 1导数为导数为 0 的点都是极值点吗?的点都是极值点吗? 提示:不一定提示:不一定yf(x)在在 xx0及附近有定义,且及附近有定义,且 f(x0)0,yf(x)是否在是否在 xx0处 取
4、得极值, 还要看 处 取得极值, 还要看f(x)在在x0两侧的符号是否异号 例如两侧的符号是否异号 例如f(x)x3, 由, 由f(x)3x2知知f(0)0, 但 , 但 x0 不是不是 f(x)x3的极值点的极值点 2函数函数 f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a,b),导函数,导函数 f(x)在在(a,b) 内的图象如图所示,则函数内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间在开区间(a,b)内有几个极小值 点? 内有几个极小值 点? 提示:由图可知,在区间提示:由图可知,在区间(a, x1), (x2,0), (0, x3)内内 f(x)0;在区 间 ;在区 间 (x1,x2),(
5、x3,b)内内 f(x)0 且 且 f(x)极小值 极小值0 恒成立,恒成立, 即函数在即函数在(,)上单调递增,上单调递增, 此时函数没有极值点此时函数没有极值点 当当 a0 时,令时,令 f(x)0,得,得 x1,x2,aa 当当 x 变化时,变化时,f(x)与与 f(x)的变化如下表:的变化如下表: x(,)aa(,)aaa(, , )a f(x)00 f(x)极大值极大值极小值极小值 因此, 函数因此, 函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(, , )和和(, , ), 单调递减区间为, 单调递减区间为(,aaa ),a 此时此时 x是是 f(x)的极大值点,的极大值点,x是
6、是 f(x)的极小值点的极小值点aa a 为何值时,方程为何值时,方程 x33x2a0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没 有可能无实根? 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没 有可能无实根? 巧思巧思 方程 方程 x33x2a0 根的个数, 即为直线根的个数, 即为直线 ya 和函数和函数 f(x)x33x2图象交点的 个数,因此可借助函数的单调性和极值画出函数 图象交点的 个数,因此可借助函数的单调性和极值画出函数 f(x)x33x2的图象,然后借助图象判断 根的个数 的图象,然后借助图象判断 根的个数 妙解妙解 令 令 f(x)x33x2,则,则 f(x)的定义域为
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