2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第4章 4.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 44生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 读教材读教材填要点填要点 1优化问题优化问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题 2解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路 小问题小问题大思维大思维 将将 8 分成两个非负数之和,使其立方和最小,应该怎么分?分成两个非负数之和,使其立方和最小,应该怎么分? 提示:设一个数为提示:设一个数为 x, 则另一个数为则另一个数为 8x,则其立方和,则其立方和 yx3(8x)383
2、192x24x2,且,且 0x8, y48x192. 令令 y0,即,即 48x1920,得,得 x4. 当当 0x0, 当当 x4 时,时,y 最小最小 即分成的这两个数应为即分成的这两个数应为 4,4. 用料最省、费用最低问题用料最省、费用最低问题 如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 m2的三级污水处理池, 由于地形限制,长、宽都不能超过 的三级污水处理池, 由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条 隔墙建造单价为每米 元,中间两条 隔墙建造单价为每米 2
3、48 元, 池底建造单价为每平方米元, 池底建造单价为每平方米 80 元元(池壁厚度忽略不计, 且池无盖池壁厚度忽略不计, 且池无盖). (1)写出总造价写出总造价 y(元元)与污水处理池长与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域的函数关系式,并指出其定义域 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价 自主解答自主解答 (1)设长为设长为 x m,则宽为,则宽为 m 200 x 据题意据题意Error!Error! 解得解得x16, 2
4、5 2 y40024816 000 ( (2x 2200 x) ) 400 x 800x16 000. 259 200 x ( ( 25 2 x 16) ) (2)令令 y8000,解得,解得 x18. 259 200 x2 当当 x(0,18)时,函数时,函数 y 为减函数;为减函数; 当当 x(18,)时,函数时,函数 y 为增函数为增函数 又又x16. 25 2 当当 x16 时,时,ymin45 000. 当且仅当长为当且仅当长为 16 m、宽为、宽为 12.5 m 时,总造价时,总造价 y 最低为最低为 45 000 元元. 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要
5、利用导数求解相应函数 的最小值,此时根据 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数 的最小值,此时根据 f(x)0 求出极值点求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函 数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 后,函 数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 1.已知已知 A,B 两地相距两地相距 200 千米,一只船从千米,一只船从 A 地逆水航行到地逆水航行到 B 地,水速为地,水速为 8 千米千米/时,船在 静水中的航行速度为 时,船在 静水中的航行速度为
6、 v 千米千米/时时(8vv0) 若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航 行速度的平方成正比,当 若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航 行速度的平方成正比,当 v12(千米千米/时时)时,船每小时航行所需的燃料费为时,船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使 全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少? 元为了使 全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少? 解:设船每小时航行所需的燃料费为解:设船每小时航行所需的燃料费为 y1元,比例系数为元,比例系数为 k(k0),则,则 y1kv2. 当当 v12 时,时,y1720,720k122,得,得 k5. 设全程燃料费为设全程燃料费为
7、 y 元,元, 由题意,得由题意,得 yy1, 200 v 8 1 000v2 v 8 y. 2 000v v8 1 000v2 v 8 2 1 000v216 000v v 8 2 令令 y0,解得,解得 v0(舍去舍去)或或 v16. 当当 v016 时,时,v(8,16),y0,即,即 y 为减函数;为减函数; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 v(16,v0,y0,即,即 y 为增函数,为增函数, 故故 v16(千米千米/时时)时,时,y 取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省;取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省; 当当 v016 时,时,v(8,v0,y0,即,
8、即 y 在在(8,v0上为减函数,上为减函数, 故当故当 vv0时,时,ymin,此时全程燃料费最省,此时全程燃料费最省 1 000v2 0 v0 8 综上可得,若综上可得,若 v016,则当,则当 v16(千米千米/时时)时,全程燃料费最省,为时,全程燃料费最省,为 32 000 元;若元;若 v016, 则当 , 则当 vv0时,全程燃料费最省,为元时,全程燃料费最省,为元. 1 000v2 0 v08 利润最大、效率最高问题利润最大、效率最高问题 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨吨)与每吨产品的价格与每吨产品的价格 p(元元/吨吨)
9、之 间的关系式为: 之 间的关系式为:p24 200 x2,且生产,且生产 x 吨的成本为:吨的成本为:R50 000200x(元元)问该厂每月问该厂每月 1 5 生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 自主解答自主解答 依题意,每月生产 依题意,每月生产 x 吨时的利润为:吨时的利润为: f(x)x(50 000200x) ( (24 200 1 5x 2) ) x324 000x50 000(x0) 1 5 由由 f(x) x224 000, 3 5 令令 f(x)0,解得,解得 x1200,x2200(舍去舍去) 因为因为 f
10、(x)在在0,)内有意义,则有且只有当内有意义,则有且只有当 x200 时时 f(x)0,且它就是最大值点,最 大值为 ,且它就是最大值点,最 大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000. 1 5 故每月生产故每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元万元. 实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函 数的最大值,此时根据 实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函 数的最大值,此时根据 f(x)0 求出极值点求出极值点(注意根据实际意义舍弃
11、不合适的极值点注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),函 数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值 ,函 数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值 2.某产品按质量分为某产品按质量分为 10 个档次,生产第个档次,生产第 1 档次档次(即最低档次即最低档次)的利润是每件的利润是每件 8 元,每提高一 个档次,利润每件增加 元,每提高一 个档次,利润每件增加 2 元,但在一天内产量减少元,但在一天内产量减少 3 件在一天内,最低档次的产品可生 产 件在一天内,最低档次的产品可生 产 60 件问在一天内,生产第几档次的产品的总利润最大?最大利润是多少?件问在一天内,生产第几档
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