2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第6章 6.1.1 & 6.1.2 合情推理(一)——归纳 合情推理(二)——类比 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 61合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理 61.1 & 6.1.2 合情推理 合情推理(一一)归纳 合情推理归纳 合情推理(二二)类比类比 读教材读教材填要点填要点 1合情推理的含义及方法合情推理的含义及方法 “合乎情理”的推理,最常见的有归纳和类比“合乎情理”的推理,最常见的有归纳和类比 (1)归纳归纳 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳 (2)类比类比 根据两个不同的对象在某方面的相似之处,推测出这两个对象在其它方面也有可能有根据两个不同的对象在某方面的相似之处,推测出这两个对
2、象在其它方面也有可能有 相似之处的推理方法,叫作类比相似之处的推理方法,叫作类比 2合情推理的过程合情推理的过程 小问题小问题大思维大思维 1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然 性的,而是或然性的,结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推 测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠 提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然 性的,而是或然性的,结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推 测正在
3、被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠 2你认为下列说法正确的有哪些?你认为下列说法正确的有哪些? 由合情推理得出的结论一定是正确的;由合情推理得出的结论一定是正确的; 合情推理必须有前提有结论;合情推理必须有前提有结论; 合情推理不能猜想;合情推理不能猜想; 合情推理得出的结论不能判断正误合情推理得出的结论不能判断正误 提示:由合情推理的定义及推理过程可知,合情推理必须有前提有结论,但结论不一 定正确,故只有正确 提示:由合情推理的定义及推理过程可知,合情推理必须有前提有结论,但结论不一 定正确,故只有正确 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数列中的归纳推理
4、数列中的归纳推理 已知数列已知数列an的每一项均为正数,的每一项均为正数,a11,aa 1(n1,2,3,),试归纳,试归纳 2n12 n 出数列出数列an的一个通项公式的一个通项公式 自主解答自主解答 当 当 n1 时,时,a11; 当当 n2 时,时,a2;a2 112 当当 n3 时,时,a3.a2 213 由此猜想由此猜想an的一个通项公式为的一个通项公式为 an(nN ) n 若将“若将“aa 1”改换为“”改换为“an 1 ” ,试猜想” ,试猜想an的一个通项公式的一个通项公式 2n12 n 3an 3 2an 解:当解:当 n1 时,时,a11, 由由 an 1 (nN ),得
5、 ,得 3an 3 2an a2 , ,a3 , ,a4 . 3 5 3a2 3 2a2 3 7 3a3 3 2a3 1 3 3 9 由此猜想an的一个通项公式为 an(nN ) 3 2n 1 归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤 归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包 括两个步骤: 归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包 括两个步骤: (1)通过观察个别对象发现某些相同性质;通过观察个别对象发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想猜想) 1 已知数列
6、 已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn, a1 , 且 , 且 Sn2an(n2), 计算, 计算 S1, S2, S3, S4, 2 3 1 Sn 并猜想并猜想 Sn的表达式的表达式 解:当解:当 n1 时,时,S1a1 ; ; 2 3 当当 n2 时,时,2S1 ,所以 ,所以 S2 ; ; 1 S2 4 3 3 4 当当 n3 时,时,2S2 ,所以 ,所以 S3 ; ; 1 S3 5 4 4 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当当 n4 时,时,2S3 ,所以 ,所以 S4 . 1 S4 6 5 5 6 猜想:猜想:Sn,nN . n 1 n 2 几何中的归纳推理
7、几何中的归纳推理 如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分 ; 画两条线段,彼此最多分割成如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分 ; 画两条线段,彼此最多分割成 4 条线段,同时将圆分割成条线段,同时将圆分割成 4 部分;画三条线段,彼此最多分割成部分;画三条线段,彼此最多分割成 9 条线段,将圆最多分割 成 条线段,将圆最多分割 成 7 部分;画四条线段,彼此最多分割成部分;画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段,将圆最多分割成条线段,将圆最多分割成 11 部分部分 那么:那么: (1)在圆内画在圆内画 5 条线段,它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?条线段,它们彼此最多分
8、割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分? (2)猜想:圆内两两相交的猜想:圆内两两相交的 n(n2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割 成多少部分? 条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割 成多少部分? 自主解答自主解答 将圆内两两相交的 将圆内两两相交的 n 条线段,彼此最多分割成的线段为条线段,彼此最多分割成的线段为 f(n)条,将圆最多 分割为 条,将圆最多 分割为 g(n)部分部分 (1)f(1)112,g(1)2; 1212 2 f(2)422,g(2)4; 2222 2 f(3)932,g(3)7; 3232 2 f(4)1642,g(4)11; 4242 2
9、所以所以 n5 时,时,f(5)25,g(5)16. 5252 2 (2)根据题意猜测:根据题意猜测: 圆内两两相交的圆内两两相交的 n(n2)条线段, 彼此最多分割为条线段, 彼此最多分割为 f(n)n2条线段, 将圆最多分割为条线段, 将圆最多分割为 g(n) 部分部分 n2n2 2 解决图形中归纳推理的方法解决图形中归纳推理的方法 解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手: (1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系 (2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变
10、化后,与上一次比较,从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数值发生了怎样的变化数值发生了怎样的变化 2有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是( ) A26 B31 C32 D36 解析:选解析:选 B 有菱形纹的正六边形个数如下表: 有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案图案123 个数个数61116 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以由表可以
11、看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以为首项,以 5 为公差的等 差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 为公差的等 差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.故选故选 B. 类比推理类比推理 (1)若数列若数列an(nN*)是等差数列,则有数列是等差数列,则有数列bn: bn(n a1a2a3an n N*)也是等差数列类比上述性质,相应地,若数列也是等差数列类比上述性质,相应地,若数列cn(nN*)是等比数列,且是等比数列,且 cn0,则有 数列 ,则有 数列dn:dn_(nN*)也是等比数列也是等比数列 (2)如图所示,在如图所
12、示,在ABC 中,射影定理可表示为中,射影定理可表示为 abcos Cccos B,其中,其中 a,b,c 分 别为角 分 别为角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想 自主解答自主解答 (1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想:由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想:dn. n c1c2c3cn 答案:答案: n c1c2c3cn (2)如图所示,在四面体如图所示,在四面体 PABC 中,中,S1,S2,S3,S 分别表示分别表示PAB,PBC, PCA, , ABC 的面积,的面积, , , 依次表示平面依次表
13、示平面 PAB, 平面, 平面 PBC, 平面, 平面 PCA 与底面与底面 ABC 所成二面角的大小所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新的结论类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新的结论 该过程包括两个步骤:该过程包括两个步骤: (1)找出两类对象之间的相似性或一致性;找出两类对象之间的相似性或一致性; (2)用一类对象
14、的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想猜想) 2解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相 关结论类比到立体几何,相关类比点如下: 解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相 关结论类比到立体几何,相关类比点如下: 平面图形平面图形点点直线直线边长边长面积面积三角形三角形线线角线线角 空间图形空间图形直线直线平面平面面积面积体积体积四面体四面体面面角面面角 3在平面几何中:在平面几何中:ABC 的的C 内角平分线内角平分线 CE 分分 AB 所成线段的比为所成线
15、段的比为.把这把这 AC BC AE BE 个结论类比到空间 : 在三棱锥个结论类比到空间 : 在三棱锥 ABCD 中中(如图如图), DEC 平分二面角平分二面角 ACDB 且与且与 AB 相交于相交于 E, 则得到类比的结论是 , 则得到类比的结论是_ 解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得. AE EB S ACD S BCD 答案:答案: AE EB S ACD S BCD 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想 巧思巧思 考虑到直角三角形的两条边互相
16、垂直, 所以可以选取有 考虑到直角三角形的两条边互相垂直, 所以可以选取有 3 个面两两垂直的四面 体,作为直角三角形的类比对象 个面两两垂直的四面 体,作为直角三角形的类比对象 妙解妙解 如图 如图(1),(2)所示,与所示,与 RtABC 相对应的是四面体相对应的是四面体 PDEF;与;与 RtABC 的两 条边构成的 的两 条边构成的 1 个直角相对应的是四面体个直角相对应的是四面体 PDEF 的的 3 个面在一个顶点构成的个面在一个顶点构成的 3 个直二面角; 与 个直二面角; 与 RtABC 的直角边边长的直角边边长 a,b 相对应的是四面体相对应的是四面体 PDEF 中的中的DEF
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