2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第6章 6.3 数学归纳法 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 63数学归纳法数学归纳法 读教材读教材填要点填要点 数学归纳法的概念及步骤数学归纳法的概念及步骤 一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: (1)证明当证明当 nn0(n0N )时命题成立; 时命题成立; (2)假设假设 nk(kn0,kN )时命题成立,证明当 时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立时命题也成立 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对于任何从只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对于任何从 n0开始的所有正整数开始的所有正整数 n 都成立都成立 上述证明方法叫作数学
2、归纳法上述证明方法叫作数学归纳法 小问题小问题大思维大思维 1数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为的初始值是否一定为 1? 提示:不一定,如证明提示:不一定,如证明 n 边形的内角和为边形的内角和为(n2)180时,第一个值为时,第一个值为 n03. 2数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系?数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系? 提示:步骤提示:步骤(1)是命题论证的基础,步骤是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证是判断命题的正确性能否递推下去的保证 这两个步骤缺一不可,如果只有步骤这两个步骤缺一不可,如果只有步骤(1)缺少步骤缺少步骤(2),
3、无法对,无法对 n 取取 n0后的数时结论是否 正确做出判断;如果只有步骤 后的数时结论是否 正确做出判断;如果只有步骤(2)缺少步骤缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2) 就没有意义了就没有意义了 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明:用数学归纳法证明: (n2,nN ) ( (1 1 4) )( (1 1 9) )( (1 1 16) ) ( (1 1 n2) ) n 1 2n 自主解答自主解答 当 当 n2 时,左边时,左边1 , , 1 4 3 4 右边 ,右边 , 2 1 2 2 3 4 左边右边左边右边
4、 假设假设 nk(k2,kN )时结论成立, 时结论成立, 即即. ( (1 1 4) )( (1 1 9) ) ( (1 1 k2) ) k 1 2k 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 那么那么 nk1 时,利用归纳假设有:时,利用归纳假设有: ( (1 1 4) )( (1 1 9) ) ( (1 1 k2) ) 1 1 k 1 2 . k 1 2k 1 1 k 1 2 k 1 2k k k 2 k 1 2 k 2 2 k 1 k 1 1 2 k 1 即即 nk1 时等式也成立时等式也成立 综合知,对任意综合知,对任意 n2,nN 等式恒成立 等式恒成立 用数学归纳法证明等式应注
5、意的问题用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律, 等式两边各有多少项,以及初始值 用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律, 等式两边各有多少项,以及初始值 n0的值的值 (2)由由 nk 到到 nk1 时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 nk 时的式子, 即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明 时的式子, 即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明 1用数学归纳法证明:用数学归纳法证明:1 (nN ) 1 2
6、1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n 证明:证明:(1)当当 n1 时,左边时,左边1 右边,所以等式成立 右边,所以等式成立 1 2 1 2 1 1 1 (2)假设假设 nk(kN )时等式成立, 时等式成立, 即即 1 , , 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 k 2 1 2k 则当则当 nk1 时,时, 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 ( ( 1 k 1 1 k 2 1 2k) ) 1 2k 1 1 2k 2 ( ( 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1) ) (
7、( 1 k 1 1 2k 2) ) . 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2 k 1 所以所以 nk1 时等式也成立时等式也成立 由由(1)(2)知等式对任意知等式对任意 nN 都成立 都成立 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 证明不等式证明不等式 10, 得得 ak 11)时,第一步应验证不等式时,第一步应验证不等式 1 2 1 3 1 2n1 ( ) A1 1 且且 nN , ,n0取的第一个值取的第一个值 n02. 答案:答案:B 2 某个命题与自然数 某个命题与自然数n有关, 如果当有关, 如果当nk(kN )时, 该命题成立, 那么可推得当 时, 该命题
8、成立, 那么可推得当nk 1 时命题也成立,现在已知当时命题也成立,现在已知当 n5 时,该命题不成立,那么可推得时,该命题不成立,那么可推得( ) A当当 n6 时该命题不成立时该命题不成立 B当当 n6 时该命题成立时该命题成立 C当当 n4 时该命题不成立时该命题不成立 D当当 n4 时该命题成立时该命题成立 解析:若解析:若 n4 时成立,则时成立,则 n41 时也成立,与已知矛盾,故时也成立,与已知矛盾,故 n4 时不成立时不成立 答案:答案:C 3用数学归纳法证明“用数学归纳法证明“12222n 2 2n 3 1” ,在验证” ,在验证 n1 时,左边计算所 得的式子为 时,左边计
9、算所 得的式子为( ) A1 B12 C1222 D122223 解析:当解析:当 n1 时,左边时,左边122223. 答案:答案:D 4用数学归纳法证明“对于足够大的自然数用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n,总有,总有 2nn3”时,验证第一步不等式成 立所取的第一个值 ”时,验证第一步不等式成 立所取的第一个值 n0最小应当是最小应当是_ 解析:解析:2101 024103,2951293, 第一个值第一个值 n0最小应当是最小应当是 10. 答案:答案:10 5 用数学归纳法证明 “当 用数学归纳法证明 “当 n 为正奇数时,为正奇数时, xnyn能被能被 xy 整除” , 当第
10、二步假设整除” , 当第二步假设 n2k 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1(kN )命题为真时,进而需证 命题为真时,进而需证 n_时,命题亦真时,命题亦真 解析:解析:n 为正奇数,假设为正奇数,假设 n2k1 成立后,需证明的应为成立后,需证明的应为 n2k1 时成立时成立 答案:答案:2k1 6设设 f(n)1 (nN ) 1 2 1 3 1 n 求证:求证:f(1)f(2)f(n1)n(n2,nN ) f n 1 证明:证明:(1)当当 n2 时,左边时,左边f(1)1. 右边右边21,左边右边,等式成立,左边右边,等式成立 1 1 2 1 (2)假设假设 nk 时,结论
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