2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题四 第二课时 “导数与函数的零点问题”考法面面观 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二课时 “导数与函数的零点问题”考法面面观第二课时 “导数与函数的零点问题”考法面面观 考法一 函数零点个数问题考法一 函数零点个数问题 题型题型策略策略(一一)Error!讨论函数的零点个数讨论函数的零点个数 已知 已知 f (x)e x(ax2 x1)当当 a0 时,试讨论方程时,试讨论方程 f (x)1 的解的个数的解的个数例例1 破题思路破题思路 求什么 想什么 求什么 想什么 讨论方程讨论方程 f (x)1 的解的个数,想到的解的个数,想到 f (x)1 的零点个数的零点个数 给什么 用什么 给什么 用什么 给出给出 f (x)的解析式,
2、用的解析式,用 f (x)1 构造函数,转化为零点问题求解构造函数,转化为零点问题求解(或分离参数,结 合图象求解 或分离参数,结 合图象求解) 规范解答规范解答 法一:分类讨论法法一:分类讨论法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 方程方程 f (x)1 的解的个数即为函数的解的个数即为函数 h(x)exax2x1(a0)的零点个数的零点个数 而而 h(x)ex2ax1, 设设 H(x)ex2ax1,则,则 H(x)ex2a. 令令 H(x)0,解得,解得 xln 2a;令;令 H(x)0), 则则 g(m)1(1ln m)ln m, 令令 g(m)1;令;令 g(m)0,得,得
3、 0 时,时,ln 2a0,h(x)minh(ln 2a)0 使得使得 h(x1)0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 这时这时 h(x)在在(,0)上单调递增,在上单调递增,在(0,x1)上单调递减,在上单调递减,在(x1,)上单调递增上单调递增 所以所以 h(x1)h(0)0,h(0)0, 所以此时所以此时 f (x)有两个零点有两个零点 综上, 当综上, 当 a 时, 方程 时, 方程 f (x)1 只有一个解 ; 当只有一个解 ; 当 a 且 且 a0 时, 方程时, 方程 f (x)1 有两个解有两个解 1 2 1 2 法二:分离参数法法二:分离参数法(学生用书提供解题过
4、程学生用书提供解题过程) 方程方程f (x)1的解的个数即方程的解的个数即方程exax2x10(a0)的解的个数, 方程可化为的解的个数, 方程可化为ax2ex x1. 当当 x0 时,方程为时,方程为 0e001,显然成立,所以,显然成立,所以 x0 为方程的解为方程的解 当当 x0 时,分离参数可得时,分离参数可得 a(x0) exx1 x2 设函数设函数 p(x)(x0), exx1 x2 则则 p(x). e x x1 x2 x2 exx 1 x 2 2 ex x 2 x2 x3 记记 q(x)ex(x2)x2,则,则 q(x)ex(x1)1. 记记 t(x)q(x)ex(x1)1,则
5、,则 t(x)xex. 显然当显然当 x0 时,时,t(x)0,函数,函数 t(x)单调递增单调递增 所以所以 t(x)t(0)e0(01)10,即,即 q(x)0, 所以函数所以函数 q(x)单调递增单调递增 而而 q(0)e0(02)020, 所以当所以当 x0,函数,函数 p(x)单调递增;单调递增; 当当 x0 时,时,q(x)0,即,即 p(x)0,函数,函数 p(x)单调递增单调递增 而当而当 x0 时,时, p(x) x 0 x 0 x 0 x 0 (洛必达法洛必达法 e x x1 x 2 ex1 2x e x 1 2x ex 2 1 2 则则), 当当 x时,时,p(x) x
6、x 0, e x x1 x 2 ex1 2x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故函数故函数 p(x)的图象如图所示的图象如图所示 作出直线作出直线 ya. 显然,当显然,当 a 时,直线 时,直线 ya 与函数与函数 p(x)的图象无交点,即方程的图象无交点,即方程 exax2x10 只有只有 1 2 一个解一个解 x0; 当当 a 且 且 a0 时, 直线时, 直线 ya 与函数与函数 p(x)的图象有一个交点的图象有一个交点(x0, a), 即方程, 即方程 exax2x1 1 2 0 有两个解有两个解 x0 或或 xx0. 综上, 当综上, 当 a 时, 方程 时, 方程 f
7、 (x)1 只有一个解 ; 当只有一个解 ; 当 a 且 且 a0 时, 方程时, 方程 f (x)1 有两个解有两个解 1 2 1 2 注注 部分题型利用分离法处理时,会出现“ ”型的代数式,这是大学数学中的不定 部分题型利用分离法处理时,会出现“ ”型的代数式,这是大学数学中的不定 0 0 式问题,解决这类问题有效的方法就是洛必达法则式问题,解决这类问题有效的方法就是洛必达法则 法则法则 1 若函数 若函数 f (x)和和 g(x)满足下列条件:满足下列条件: (1)lif (x)0 及及 lig(x)0;m xa m xa (2)在点在点 a 的去心邻域内,的去心邻域内,f (x)与与
8、g(x)可导且可导且 g(x)0; (3)li l.m xa f x g x 那么那么 li li l.m xa f x g x m xa f x g x 法则法则 2 若函数 若函数 f (x)和和 g(x)满足下列条件:满足下列条件: (1)lif (x)及及 lig(x);m xa m xa (2)在点在点 a 的去心邻域内,的去心邻域内,f (x)与与 g(x)可导且可导且 g(x)0; (3)li l.m xa f x g x 那么那么 li li l.m xa f x g x m xa f x g x 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 构造函数后,正确进行分类讨论是解
9、决本题的关键;不知道分类讨论 或分类讨论时,分类不明或分类不全是解决此类问题常犯的错误 构造函数后,正确进行分类讨论是解决本题的关键;不知道分类讨论 或分类讨论时,分类不明或分类不全是解决此类问题常犯的错误 技法技法判断函数零点个数的思路判断函数零点个数的思路 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 关键关键 点拨点拨 判断函数在某区间判断函数在某区间a,b(a,b)内的零点的个数时,主要思路为:一 是由 内的零点的个数时,主要思路为:一 是由 f (a)f (b)0,所以,所以 f (x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 当当 a0 时,由时,由Error!得得 0, a a a a
10、 所以所以 f (x)在上单调递增,在上单调递减在上单调递增,在上单调递减 (0, , a a) ( a a , ,) 综上所述:当综上所述:当 a0 时,时,f (x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,); 当当 a0 时,时,f (x)的单调递增区间为,单调递减区间为的单调递增区间为,单调递减区间为. (0, , a a) ( a a , ,) (3)由由(2)可知,可知, ()当当 a0,故,故 f (x)在在1,e2上没有零点上没有零点 1 2 ()当当 a0 时,时,f (x)在在1,e2上单调递增,而上单调递增,而 f (1) a0,故,故 f (x)在在1,e2上有一上有一
11、1 2 个零点个零点 ()当当 a0 时,若时,若1,即,即 a1 时,时,f (x)在在1,e2上单调递减因为上单调递减因为 f (1) a 时,时,f (x)在在1,e2上没有零点;上没有零点; ( a a) 1 2 1 2 1 e 若若 f ln a 0,即,即 a 时, 时,f (x)在在1,e2上有一个零点;上有一个零点; ( a a) 1 2 1 2 1 e 若若 f ln a 0,即,即 a0,得,得 a0,所以,所以 f (x)在在1,e2上有一个零点上有一个零点 1 2 1 2 综上所述 : 当综上所述 : 当 a 时,时, f (x)在在1, e2上没有零点 ; 当上没有零
12、点 ; 当 0a0,f (x)单调递增单调递增 由由 f (1) 0,当,当 x时,时,f (x), 1 e 所以函数所以函数 f (x)在在(,)上有两个零点上有两个零点 若若 ln a0,f (x)单调递增 ;单调递增 ; 1 e 当当 x(ln a,1)时,时,f (x)1,即,即 a ,当,当 x(,1)(ln a,)时,时,f (x)0,f (x)单调递增;单调递增; 1 e 当当 x(1,ln a)时,时,f (x)1 时,时,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递增单调递增 当当 x0 时,时,g(x)0;当;当 x时,时,g(x)0;当;当 x1 时,时,g(x);当;当 x
13、时, 时,g(x). 故函数故函数 g(x)的图象如图所示的图象如图所示 作出直线作出直线 ya,由图可知,当,由图可知,当 a0, 1 x 2ax2x1 x 当当 a0 时,显然时,显然 f (x)0,f (x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 当当 a0 时,令时,令 f (x)0,则,则2ax2x10,易知其判别式为正,易知其判别式为正, 2ax2x1 x 设方程的两根分别为设方程的两根分别为 x1,x2(x10. 2ax2x1 x 2a xx1 x x2 x 令令 f (x)0,得,得 x(0,x2);令;令 f (x)0 时,函数时,函数 f (x)在在(0,x2)上单调递增,在
14、上单调递增,在(x2,)上单调递减,上单调递减, f (x)maxf (x2) 要使要使 f (x)有两个零点,需有两个零点,需 f (x2)0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即即 ln x2ax x20, 2 2 又由又由 f (x2)0 得得 ax ,代入上面的不等式得,代入上面的不等式得 2 2 1 x2 2 2ln x2x21,解得,解得 x21, a1 , 1 8a 1 4a 2 8a 11 2 8 11 1 e f (x2)ln x2ax x2 (2ln x2x21)0, 2 2 1 2 f (x)在与上各有一个零点在与上各有一个零点 ( 1 e, ,x 2) (x
15、2, ,2 a) a 的取值范围为的取值范围为(0,1) 法二:函数法二:函数 f (x)有两个零点,等价于方程有两个零点,等价于方程 a有两解有两解 ln x x x2 令令 g(x),x0,则,则 g(x). ln x x x2 12ln x x x3 由由 g(x)0,得,得 2ln xx0,当,当 x0 时,时,g(x), 作出函数作出函数 g(x)的简图如图,结合函数值的变化趋势猜想:当的简图如图,结合函数值的变化趋势猜想:当 a(0,1)时符合题意时符合题意 下面给出证明:下面给出证明: 当当 a1 时,时,ag(x)max,方程至多一解,不符合题意;,方程至多一解,不符合题意;
16、当当 a0 时,方程至多一解,不符合题意;时,方程至多一解,不符合题意; 当当 a(0,1)时,时,g0),a 为常数,若函数为常数,若函数 f (x)有两个零点有两个零点 x1,典典例例 x2(x1x2)证明:证明:x1x2e2. 破题思路破题思路 证明证明 x1x2e2,想到把双变量,想到把双变量 x1,x2转化为只含有一个变量的不等式证明转化为只含有一个变量的不等式证明 规范解答规范解答 法一:巧抓根商法一:巧抓根商 c构造函数构造函数(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) x1 x2 不妨设不妨设 x1x20, 因为因为 ln x1ax10,ln x2ax20, 所以所以 l
17、n x1ln x2a(x1x2),ln x1ln x2a(x1x2),所以,所以a, ln x1ln x2 x1x2 欲证欲证 x1x2e2,即证,即证 ln x1ln x22. 因为因为 ln x1ln x2a(x1x2),所以即证,所以即证 a, 2 x1x2 所以原问题等价于证明所以原问题等价于证明, ln x1ln x2 x1x2 2 x1x2 即即 ln , x1 x2 2 x1x2 x1x2 令令 c(c1),则不等式变为,则不等式变为 ln c. x1 x2 2 c 1 c 1 令令 h(c)ln c,c1, 2 c 1 c 1 所以所以 h(c) 0, 1 c 4 c 1 2
18、c 1 2 c c 1 2 所以所以 h(c)在在(1,)上单调递增,上单调递增, 所以所以 h(c)h(1)ln 100, 即即 ln c0(c1), 2 c 1 c 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此原不等式因此原不等式 x1x2e2得证得证 启思维启思维 该方法的基本思路是直接消掉参数 该方法的基本思路是直接消掉参数 a, 再结合所证问题, 巧妙引入变量, 再结合所证问题, 巧妙引入变量 c, x1 x2 从而构造相应的函数其解题要点为:从而构造相应的函数其解题要点为: (1)联立消参:利用方程联立消参:利用方程 f (x1)f (x2)消掉解析式中的参数消掉解析式中的
19、参数 a. (2)抓商构元:令抓商构元:令 c,消掉变量,消掉变量 x1,x2,构造关于,构造关于 c 的函数的函数 h(c) x1 x2 (3)用导求解:利用导数求解函数用导求解:利用导数求解函数 h(c)的最小值,从而可证得结论的最小值,从而可证得结论 法二:抓极值点构造函数法二:抓极值点构造函数(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 由题意,函数由题意,函数 f (x)有两个零点有两个零点 x1,x2(x1x2),即,即 f (x1)f (x2)0,易知,易知 ln x1,ln x2是 方程 是 方程 xaex的两根的两根 令令 t1ln x1,t2ln x2. 设设 g(x)xe
20、 x,则 ,则 g(t1)g(t2), 从而从而 x1x2e2ln x1ln x22t1t22. 下证:下证:t1t22. g(x)(1x)e x,易得 ,易得 g(x)在在(,1)上单调递增,在上单调递增,在(1,)上单调递减,上单调递减, 所以函数所以函数 g(x)在在 x1 处取得极大值处取得极大值 g(1) . 1 e 当当 x时,时,g(x);当;当 x时,时,g(x)0 且且 g(x)0. 由由g(t1)g(t2), t1t2, 不妨设, 不妨设t10, x ex 1 所以所以 F(x)在在(0,1上单调递增,上单调递增, 所以所以 F(x)F(0)0 对任意的对任意的 x(0,1
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