2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第二部分 第一板块 学通考场解题常用12术——解得快 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第一板块第一板块 Error! 学通考场解题常用学通考场解题常用 12 术术解得快解得快 第第 1 术 抛砖引玉 活用特例术 抛砖引玉 活用特例 方法 概述 方法 概述 所谓特例法,又叫特殊化法,就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时,可以 从一般退到特殊,先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,以便从特 殊问题的研究中,拓宽解题思路,发现解答原题的方向或途径 所谓特例法,又叫特殊化法,就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时,可以 从一般退到特殊,先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,
2、以便从特 殊问题的研究中,拓宽解题思路,发现解答原题的方向或途径 应用 题型 应用 题型 (1)选择题或填空题;选择题或填空题;(2)在解答题中,当求解目标尚未明确时,往往需要考查题设条 件中所含参变因素的某些特殊情况或极端情况 在解答题中,当求解目标尚未明确时,往往需要考查题设条 件中所含参变因素的某些特殊情况或极端情况 方法一:取特殊数值方法一:取特殊数值 设 设 f (x)Error!若若 f (x0)3,则,则 x0的取值范围为的取值范围为( )例例1 A(,0)(2,) B(0,2) C(,1)(3,) D(1,3) 常规解法常规解法 当当 x02 时,时,log24(x01)3,
3、即即 log24log2(x01)3,log2(x01)1, x012,即,即 x03. 当当 x03,即,即 x02, ,x03 或或 x01 时,时,f (x)x1; 当当 x0),g(x) (x0)都是“影子函数” ,但都是“影子函数” ,但 F(x)f (x)g(x)1(x0) 1 x 不是 “影子函数”不是 “影子函数” (因为对任意的因为对任意的x1(0, , ), 存在无数多个, 存在无数多个x2(0, , ), 使得, 使得F(x1)F(x2) 1),所以错误,所以错误 答案答案 B 方法四:取特殊位置 方法四:取特殊位置 已知 已知 E 为为ABC 的重心,的重心, AD 为
4、为 BC 边上的中线, 过点边上的中线, 过点 E 的直线分别交的直线分别交 AB, AC例例6 于于 P,Q 两点,且两点,且m,n,则 ,则 ( )AP AB AQ AC 1 m 1 n A3 B4 C5 D.1 3 常规解法常规解法 分别过点分别过点 B,C 作作 BMAD,CNAD,分别交,分别交 PQ 于点于点 M,N. D 是是 BC 的中点,的中点, DE 是梯形是梯形 CNMB 的中位线的中位线 又又m,n,AP AB AQ AC m , ,n , , | | | | 1 m 1 n | | | | |AP|BP| |AP| |AQ|QC| |AQ| 112 |BP| |AP|
5、 |QC| |AQ| |BP| |AP| |QC| |AQ| 22 |BM| |AE| |CN| |AE| |BM|CN| |AE| 22213. 2|DE| |AE| |AE| |AE| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 提速解法提速解法 由于直线由于直线 PQ 是过点是过点 E 的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值故可利用特殊 直线确定所求值 的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值故可利用特殊 直线确定所求值 法一:如图法一:如图(1),令,令 PQBC, 则,此时,则,此时,mn , ,AP 2 3 AB AQ 2 3 AC 2 3 故 故 3. 1 m 1 n 法二 :
6、 如图法二 : 如图(2), 直线, 直线 BE 与直线与直线 PQ 重合, 此时, 故重合, 此时, 故 m1, nAP AB AQ 1 2 AC ,所以 ,所以 3. 1 2 1 m 1 n 答案答案 A 如图, 在三棱柱 如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧棱中, 侧棱 A1A 和和 B1B 上各有一动点上各有一动点 P, Q 满足满足 A1P例例7 BQ,过,过 P,Q,C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A31 B21 C41 D.13 常规解法常规解法 设三棱柱设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为的体积为 V, 侧
7、棱侧棱 AA1和和 BB1上各有一动点上各有一动点 P,Q 满足满足 A1PBQ, 四边形四边形 PQBA 与四边形与四边形 PQB1A1的面积相等,的面积相等, 故四棱锥故四棱锥 CPQBA 的体积等于三棱锥的体积等于三棱锥 CABA1的体积,等于的体积,等于 V, 1 3 则几何体则几何体 CPQC1B1A1的体积等于的体积等于 V, 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故过故过 P,Q,C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为 21. 提速解法提速解法 将将 P,Q 置于特殊位置:置于特殊位置:PA1,QB, 此时仍满足条件此时仍满
8、足条件 A1PBQ(0), 则有则有 VCAA1BVA1ABC VABCA1B1C1. 1 3 因此过因此过 P,Q,C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为 21. 答案答案 B 方法五:取特殊图形 方法五:取特殊图形 AD, BE 分别是分别是ABC 的中线, 若的中线, 若|1, 且与的夹角为, 且与的夹角为 120,例例8AD BE AD BE 则则_.AB AC 常规解法常规解法 由已知得由已知得Error! 解得解得Error! 所以所以 |2 |2 .AB AC 8 9 AD 4 9 BE 4 9 AD BE 2 3 提速解法提速解法 若若
9、ABC 为等边三角形,则为等边三角形,则|,AB 2 3 3 |cos 60 .AB AC AB AC 2 3 答案答案 2 3 即时应用体验即时应用体验 1动点动点 A 在双曲线在双曲线1 上,上,B,C 为其左、右焦点在为其左、右焦点在ABC 中,角中,角 A,B,C x2 m2 y2 n2 的对边分别是的对边分别是 a,b,c,且,且 a10,cb6,则,则 tan tan ( ) B 2 C 2 A. B. 1 4 1 2 C. D1 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:选解析:选 A 由题意得双曲线的方程为 由题意得双曲线的方程为1,取特殊位置,取特殊位置 AC
10、BC,可得,可得 C , , x2 9 y2 16 2 则则 a2b2(6b)2,解得,解得 b,故,故 tan B,则,则 tan , , 16 3 8 15 B 2 1 4 所以所以 tan tan . B 2 C 2 1 4 2 若 若 f (x)和和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数, 且方程都是定义在实数集 R 上的函数, 且方程 xf g(x)0 有实数解, 则有实数解, 则 gf (x)的解析式不可能是的解析式不可能是( ) Ayx2x Byx2x 1 5 1 5 Cyx2 Dyx2 1 5 1 5 解析 : 选解析 : 选 B 法一 : 设 法一 : 设 x0为方程为方程
11、 xf g(x)0 的一个实根,则的一个实根,则 f g(x0)x0.设设 g(x0)t0, 则 , 则 f (t0)x0.所以所以 g(x0)gf (t0)t0, 即, 即 gf (t0)t00, 这说明方程, 这说明方程 gf (x)x0 至少有一 个实根 至少有一 个实根 t0,而对于选项,而对于选项 B,当,当 gf (x)x2x 时,方程 时,方程 x2x x 无实根,故选无实根,故选 B. 1 5 1 5 法二:取特殊函数法令法二:取特殊函数法令 f (x)x,即可把原题改写为,即可把原题改写为 xg(x)0 有实数解,有实数解,g(x)不可 能是哪个代数式 不可 能是哪个代数式A
12、、C、D 均可使均可使 xg(x)0 有实数解,只有有实数解,只有 B 不能使不能使 xg(x)0 有实数 解,故选 有实数 解,故选 B. 3设设 f (x)Error!则使所有则使所有 x 均满足不等式均满足不等式 xf (x)g(x)的函数的函数 g(x)为为( ) Asin x Bx Cx2 D|x| 解析:选解析:选 D 若 若 g(x)sin x,应有,应有 xf (x)sin x,取,取 x2,则,则 f (x)1,于是,于是 20,则,则 h(x)单调递增;单调递增; 当当 x1 时,时,h(x)2 时,时,h(x)(x2)ex, h(x)ex(x1)0. 则则 h(x)在在(
13、2,)上单调递增,画出函数上单调递增,画出函数 h(x)的大致图象如 图所示 的大致图象如 图所示 故方程故方程 f (x)g(x)有六个不等的实数解等价于直线有六个不等的实数解等价于直线 ym1, y m2与曲线与曲线 h(x)|x2|ex各有三个交点各有三个交点 由图知,则需由图知,则需 0 . 7 4 (xa)2y21,y21. 同理,同理,x21. x2y22. 由可知:由可知: 0,b0)的左焦点的左焦点 F(c,0)(c0),作圆,作圆 x2y2的切线,切的切线,切 x2 a2 y2 b2 a2 4 点为点为 E, 延长, 延长 FE 交双曲线右支于点交双曲线右支于点 P, 若,
14、若 ( ), 则双曲线的离心率为, 则双曲线的离心率为( )OE 1 2 OF OP A. B. 10 2 10 5 C. D.102 解析:选解析:选A 由题意可知 由题意可知E为为FP的中点,且的中点,且OEFP.记记F 为双曲线的右焦点,作出示意图如图所示,连接 为双曲线的右焦点,作出示意图如图所示,连接 FP,则,则 FP 綊綊 2OE, 且, 且 FPFP, 所以, 所以|FP|a, 由双曲线的定义可得, 由双曲线的定义可得|FP| 3a. 又又 FPFP,可得,可得(2c)210a2,所以,所以 e . c a 10 2 4已知已知 a0,b0,则不等式,则不等式 a b 的解是的
15、解是( ) 1 x A.B. ( 1 a, , 1 b) ( 1 a, , 1 b) C.D. ( 1 b, ,0) ( 1 a, , ) ( , ,1 b) ( 1 a, , ) 解析:选解析:选 D 法一:直接求解法 法一:直接求解法 b ,故选,故选 D. 1 x 1 b 1 a 法二:数形结合法利用法二:数形结合法利用 y 的图象,如图所示,故选 的图象,如图所示,故选 D. 1 x 5已知关于已知关于 x 的方程的方程|x|ax1 有一个负根,但没有正根,则实数有一个负根,但没有正根,则实数 a 的取值范围是的取值范围是 _ 解析 : 在同一平面直角坐标系中分别作出解析 : 在同一平
16、面直角坐标系中分别作出 y|x|, yax1, yx 1 的图象 由图可知, 当直线的图象 由图可知, 当直线yax1的斜率的斜率a1时, 直线时, 直线yax1 与与 y|x|的图象有且仅有的图象有且仅有 y轴左侧一个交点, 即轴左侧一个交点, 即|x|ax1 有一个负 根,但没有正根 有一个负 根,但没有正根 答案:答案:1,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6 已知 已知 a, b为单位向量,为单位向量,ab0, 若向量, 若向量 c满足满足|cab|1,则,则 |c|的取值范围是的取值范围是 _ 解析:令解析:令a,b,ab,c,OA OB OD OC 如图所示,则如图所
17、示,则|,OD 2 又又|cab|1, 所以点所以点 C 在以点在以点 D 为圆心、半径为为圆心、半径为 1 的圆上,的圆上, 易知点易知点 C 与与 O,D 共线时共线时|取到最值,最大值为取到最值,最大值为1,最小值为,最小值为1,OC 22 所以所以|c|的取值范围为的取值范围为1,122 答案:答案:1,122 第第 3 术 解题常招 设参换元术 解题常招 设参换元 方法 概述 方法 概述 在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另 一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目 的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化
18、,使非标准型问题标准化, 从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路这 种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去考 查、探究解题思路的做法,就是设参换元法,也就是我们常说的换元法 在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另 一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目 的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化, 从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路这 种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去考
19、 查、探究解题思路的做法,就是设参换元法,也就是我们常说的换元法 应用 题型 应用 题型 此方法既适用选择题、填空题,也适用于解答题,多在研究方程、不等式、函数、 三角、解析几何中广泛应用 此方法既适用选择题、填空题,也适用于解答题,多在研究方程、不等式、函数、 三角、解析几何中广泛应用 方法一:三角换元 方法一:三角换元 已知 已知 x,yR,满足R,满足 x22xy4y26,则,则 zx24y2的取值范围为的取值范围为_例例1 常规解法常规解法 由由 x22xy4y26, 得得 2xy6(x24y2), 而而 2xy, x24y2 2 所以所以 6(x24y2), x24y2 2 所以所以
20、 x24y24,当且仅当,当且仅当 x2y 时,取等号时,取等号 又因为又因为(x2y)262xy0,即,即 2xy6, 所以所以 zx24y262xy12, 综上可得综上可得 4x24y212. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 提速解法提速解法 已知已知 x22xy4y26, 即即(xy)2(y)2()2,36 故设故设 xycos ,ysin ,636 即即 xcos sin ,ysin .622 则则 zx24y262xy62(cos sin )sin 84sin.622 (2 6) 所以所以 84z84, 即即 z 的取值范围为的取值范围为4,12 答案答案 4,12 方法
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