2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第二部分 第二板块 贯通4大数学思想——解得稳 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二板块第二板块 Error! 贯通贯通 4 大数学思想大数学思想解得稳解得稳 思想思想(一一) 函数方程 稳妥实用 函数方程 稳妥实用 函数与方程思想的概念函数与方程思想的概念函数与方程思想的应用函数与方程思想的应用 函数思想是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题方程思想, 是从问题的数量关系入手,运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型 函数思想是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题方程思想, 是从问题的数量关系入手,运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式 或方程与不等式的混合组 方程、不等式
2、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程,然后通过解方程 (组组)或不等式或不等式(组组)来使问题获解方程是从算 术方法到代数方法的一种质的飞跃,有时, 还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到 解决问题的目的 来使问题获解方程是从算 术方法到代数方法的一种质的飞跃,有时, 还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到 解决问题的目的. 函数与方程思想在解题中的应用主要表 现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解决有关求值、解 函数与方程思想在解题中的应用主要表 现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解决有关求值、解(证明证明)不等式、解方程 以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的 研究中
3、,通过建立函数关系式或构造中间函 数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关 性质,达到化难为易、化繁为简的目的 不等式、解方程 以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的 研究中,通过建立函数关系式或构造中间函 数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关 性质,达到化难为易、化繁为简的目的. 借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显 出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显 出来,从而充分运用函数
4、知识或函数方法使问题顺利获解 已知数列 已知数列an是各项均为正数的等差数列,是各项均为正数的等差数列,a12,且,且 a2,a3,a41 成等比数列成等比数列例例1 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式 an; (2)设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn,bn,若对任意的,若对任意的 nN*,不等式,不等式 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n bnk 恒成立,求实数恒成立,求实数 k 的最小值的最小值 解解 (1)因为因为 a12,a a2(a41), 2 3 又因为又因为an是正项等差数列,所以公差是正项等差数列,所以公差 d0, 所以所以(22d)2(2d)(33d
5、), 解得解得 d2 或或 d1(舍去舍去), 所以数列所以数列an的通项公式的通项公式 an2n. (2)由由(1)知知 Snn(n1), 则则 bn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n 1 n 1 n 2 1 n 2 n 3 1 2n 2n 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 2n 1 . 1 n 1 1 2n 1 n 2n23n1 1 2n1 n 3 令令 f (x)2x (x1),则,则 f (x)2, 1 x 1 x2 当当 x1 时,时,f (x)0 恒成立,恒成立, 所以所以 f (x)在在1,)上是增
6、函数,上是增函数, 故当故当 x1 时,时,f (x)minf (1)3, 即当即当 n1 时,时,(bn)max , , 1 6 要使对任意的正整数要使对任意的正整数 n,不等式,不等式 bnk 恒成立,恒成立, 则需使则需使 k(bn)max , , 1 6 所以实数所以实数 k 的最小值为的最小值为 . 1 6 技法领悟技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式、前数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式都 具有隐含的函数关系,都可以看成关于 项和公式都 具有隐含的函数关系,都可以看成关于 n 的函数,在解等差数列、等比数列问
7、题时,有意 识地凸现其函数关系,用函数思想或函数方法研究、解决问题 的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意 识地凸现其函数关系,用函数思想或函数方法研究、解决问题 ,不仅能获得简便的解法, 而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 ,不仅能获得简便的解法, 而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 应用体验应用体验 1 已知正六棱柱的 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为个顶点都在一个半径为 3 的球面上, 当正棱柱的体积取最大值时, 其高的值为 的球面上, 当正棱柱的体积取最大值时, 其高的值为( ) A3 B.33 C2 D263 解析:选解析:选 D 设正六棱柱的底面边
8、长为 设正六棱柱的底面边长为 a,高为,高为 h,则可得,则可得 a29,即,即 a29, h2 4 h2 4 那么正六棱柱的体积那么正六棱柱的体积 Vhh. (6 3 4 a2) 3 3 2(9 h 2 4) 3 3 2( h 3 4 9h) 令令 y9h,则,则 y9, h3 4 3h2 4 令令 y0,解得,解得 h2.易知当易知当 h2时,时,y 取最大值,即正六棱柱的体积最大取最大值,即正六棱柱的体积最大33 2 设等差数列 设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn, 已知, 已知 a312, S120, S130. S1313a178d15652d0,所以,所以d3. 24
9、7 Snna1d dn2n, n n 1 2 1 2 (12 5 2d) 由由 d0,Sn是关于是关于 n 的二次函数,知对称轴方程为的二次函数,知对称轴方程为 n . 5 2 12 d 又由又由d3,得,得 6 , , 24 7 5 2 12 d 13 2 所以当所以当 n6 时,时,Sn最大最大 答案:答案:S6 3满足条件满足条件 AB2,ACBC 的三角形的三角形 ABC 的面积的最大值是的面积的最大值是_2 解析:可设解析:可设 BCx,则,则 ACx,根据面积公式得,根据面积公式得2 S ABC ABBCsin Bx. 1 2 1 cos2B 由余弦定理得由余弦定理得 cos B.
10、 x222 2x 2 22x 4 x2 4x 则则 S ABC x .1(4 x2 4x) 2 128 x2 12 2 16 由由Error!解得解得 22x22.22 故当故当 x2时,时,S ABC取得最大值,最大值为 取得最大值,最大值为 2.32 答案:答案:2 2 转换“函数关系” ,利用函数思想解决问题转换“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中,经常需要求参数的 取值范围, 如果按照原有的函数关系很难奏效时, 不妨转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解
11、 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中,经常需要求参数的 取值范围, 如果按照原有的函数关系很难奏效时, 不妨转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解 已知函数 已知函数 f (x)lg,其中,其中 a 为常数,若当为常数,若当 x(,1时,时,f (x)有意有意例例2 1 2x4xa a2a1 义,则实数义,则实数 a 的取值范围为的取值范围为_ 解析解析 参数 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中, 欲直接建立关于深含在一个复杂的复合函数的表达式中, 欲直接建立关于a的不等式的不等式(组组)
12、非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把 a 分离出来,重新认识分离出来,重新认识 a 与变元与变元 x 的依存 关系,利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 的依存 关系,利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 由由0,且,且 a2a1 2 0, 1 2x4xa a2a1 (a 1 2) 3 4 得得 12x4xa0,故,故 a. ( 1 4x 1 2x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当当 x(,1时,时,y与与 y都是减函数,都是减函数, 1 4x 1 2x 因此,函数因此,函数 y在在(,1上是增函数,上是增函数, ( 1 4x
13、 1 2x) 所以所以 max ,所以 ,所以 a . ( 1 4x 1 2x) 3 4 3 4 故实数故实数 a 的取值范围是的取值范围是. ( 3 4, , ) 答案答案 (3 4, , ) 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数 y的单调性巧妙地求出实数的单
14、调性巧妙地求出实数 a 的取值范的取值范 1 4x 1 2x 围此法也叫主元法围此法也叫主元法 技法领悟技法领悟 应用体验应用体验 4设不等式设不等式 2x1m(x21)对满足对满足|m|2 的一切实数的一切实数 m 的取值都成立,则的取值都成立,则 x 的取值范 围为 的取值范 围为_ 解析:问题可以变成关于解析:问题可以变成关于 m 的不等式的不等式 (x21)m(2x1)0. 设设 A(x1,y1),B(x2,y2),其中,其中 y1y2, 则则 y1y2,y1y2, 2m m24 3 m24 所以所以|y2y1|, 4 m2 3 m24 所以所以 S AOB |OE|y2y1| 1 2
15、 2 m2 3 m24 . 2 m23 1 m23 设设 t,则,则 g(t)t , ,t,m23 1 t 3 所以所以 g(t)1 0, 1 t2 所以所以 g(t)在区间在区间,)上为增函数,上为增函数,3 所以所以 g(t), 4 3 3 所以所以 S AOB ,当且仅当,当且仅当 m0 时等号成立时等号成立 3 2 所以所以AOB 的面积存在最大值,为的面积存在最大值,为. 3 2 构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的条件或结论,通过类比、 联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此
16、基础上利用函数思想和方法使原问 题获解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素,促进思维迁移 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的条件或结论,通过类比、 联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素,促进思维迁移 设函数 设函数 f (x)aexln x, 曲线, 曲线 yf (x)在点在点(1, f (1)处的切线为处的切线为 ye(x1)例例3 bex 1 x 2.
17、(1)求求 a,b; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)证明:证明:f (x)1. 解解 (1)f (x)aex(x0), (ln x 1 x) bex 1 x 1 x2 由于直线由于直线 ye(x1)2 的斜率为的斜率为 e,图象过点,图象过点(1,2), 所以所以Error!即即Error!解得解得Error! (2)证明:由证明:由(1)知知 f (x)exln x(x0), 2ex 1 x 从而从而 f (x)1 等价于等价于 xln xxe x . 2 e 构造函数构造函数 g(x)xln x,则,则 g(x)1ln x, 所以当所以当 x时,时,g(x)0,当,当
18、x ,时, ,时,g(x)0,故,故 g(x)在上单调递在上单调递 (0, , 1 e) 1 e (0, , 1 e) 减,在上单调递增,从而减,在上单调递增,从而 g(x)在在(0,)上的最小值为上的最小值为 g . ( 1 e, , ) ( 1 e) 1 e 构造函数构造函数 h(x)xe x , , 2 e 则则 h(x)e x(1 x) 所以当所以当 x(0,1)时,时,h(x)0;当;当 x(1,)时,时,h(x)0; 故故 h(x)在在(0,1)上单调递增,在上单调递增,在(1,)上单调递减,上单调递减, 从而从而 h(x)在在(0,)上的最大值为上的最大值为 h(1) . 1 e
19、 综上,当综上,当 x0 时,时,g(x)h(x),即,即 f (x)1. 技法领悟技法领悟 对于第对于第(2)问“问“aexln x1”的证明,若直接构造函数”的证明,若直接构造函数 h(x)aexln x1, bex 1 x bex 1 x 求导以后不易分析, 因此并不宜对其整体进行构造函数, 而应先将不等式 “求导以后不易分析, 因此并不宜对其整体进行构造函数, 而应先将不等式 “aexln x bex 1 x 1”合理拆分为“”合理拆分为“xln xxe x ” ,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的 ” ,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的 2 e 目的目的
20、 应用体验应用体验 6已知函数已知函数 yf (x)对于任意的对于任意的 x满足满足 f (x)cos xf (x)sin x1ln x,其中,其中 f (0, , 2) (x)是函数是函数 f (x)的导函数,则下列不等式成立的是的导函数,则下列不等式成立的是( ) A.f f 2 ( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) C.f f D.f ,所以,所以 gg, 3 4 1 e ( 3) ( 4) 所以所以, f ( 3) cos 3 f ( 4) cos 4 即即f f ,故选,故选 B.2 ( 3) ( 4) 7若若 0ln x2ln x1 Be e x1e Dx2e g(x2),
21、x2ex1e,故选,故选 C.x1x2 构造“方程形式” ,利用方程思想解决问题构造“方程形式” ,利用方程思想解决问题 分析题目中的未知量,根据条件分别列出关于未知数的方程分析题目中的未知量,根据条件分别列出关于未知数的方程(组组),使原问题得到解决, 这就是构造方程法,是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面 ,使原问题得到解决, 这就是构造方程法,是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知直线 已知直线 l:yk(x1)与抛物线与抛物线 C:y24x 交于不同的两点交于不同的两点 A,B,问:是,问:是例例4 否存在实数
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