2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版:专题跟踪检测(十一) 立体几何中的向量方法 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题跟踪检测(十一)专题跟踪检测(十一) 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 1(2018全国卷全国卷)如图,边长为如图,边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 所在的平面 与半圆弧所在平面垂直, 所在的平面 与半圆弧所在平面垂直,M 是上异于是上异于 C,D 的点的点 CD CD (1)证明:平面证明:平面 AMD平面平面 BMC; (2)当三棱锥当三棱锥MABC体积最大时,求平面体积最大时,求平面MAB与平面与平面MCD所成 二面角的正弦值 所成 二面角的正弦值 解:解:(1)证明:由题设知,平面证明:由题设知,平面 CMD平面平面 ABC
2、D,交线为,交线为 CD.因为因为 BCCD,BC 平面 平面 ABCD, 所以所以 BC平面平面 CMD,所以,所以 BCDM. 因为因为 M 为上异于为上异于 C,D 的点,且的点,且 DC 为直径,为直径, CD 所以所以 DMCM. 又又 BCCMC, 所以所以 DM平面平面 BMC. 因为因为 DM平面平面 AMD, 所以平面所以平面 AMD平面平面 BMC. (2)以以 D 为坐标原点,的方向为为坐标原点,的方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空轴正方向, 建立如图所示的空DA 间直角坐标系间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥当三棱锥 MABC 的体积最大时,的体积最大时,M 为的
3、中为的中 CD 点由题设得点由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),M(0,1,1), (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0),AM AB DA 设 n设 n(x,y,z)是平面是平面 MAB 的法向量,的法向量, 则则Error!即即Error!可取 n可取 n(1,0,2), 又是平面又是平面 MCD 的一个法向量,的一个法向量,DA 所以所以 cosn,sinn,n,.DA n n |n n| 5 5 DA 2 5 5 所以平面所以平面 MAB 与平面与平面 MCD 所成二面角的正弦值是所成二面角的正弦值是. 2 5 5 2.(201
4、8唐山模拟唐山模拟)如图,在四棱锥如图,在四棱锥 PABCD 中,中,PC底面底面 ABCD,底面,底面 ABCD 是直角梯形,是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD 2CD,E 是是 PB 的中点的中点 (1)求证:平面求证:平面 EAC平面平面 PBC; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)若二面角若二面角 PACE 的余弦值为,求直线的余弦值为,求直线 PA 与平面与平面 EAC 所成角的正弦值所成角的正弦值 6 3 解:解:(1)证明:因为证明:因为 PC平面平面 ABCD,AC平面平面 ABCD,所以,所以 ACPC. 因为因为 AB2AD2CD, 所以所以 ACB
5、CADCD,22 所以所以 AC2BC2AB2,故,故 ACBC. 又又 BCPCC,所以,所以 AC平面平面 PBC. 因为因为 AC平面平面 EAC, 所以平面所以平面 EAC平面平面 PBC. (2)如图, 以如图, 以 C 为坐标原点,为坐标原点, , 的方向分别为的方向分别为 x 轴,轴, y 轴,轴, z 轴的正方向,轴的正方向,CB CA CP 建立空间直角坐标系,并设建立空间直角坐标系,并设CB2,CP2a(a0)则则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0), P(0,0, 2a), 则, 则 E(1,0,a), (0,2,0),(0,0,2a), (1,0,a),
6、CA CP CE 易知 m易知 m(1,0,0)为平面为平面 PAC 的一个法向量的一个法向量 设 n设 n(x,y,z)为平面为平面 EAC 的法向量,的法向量, 则则Error!即即Error! 取取 xa,则,则 z1,n,n(a,0,1) 依题意,依题意,|cosm,nm,n|, |m mn n| |m m| |n n| a a21 6 3 解得解得 a . 2 于是 n于是 n(,0,1),(0,2,2)2PA 2 设直线设直线 PA 与平面与平面 EAC 所成角为所成角为 , 则则 sin |cos,n,n|.PA |n n| |n n| 2 3 即直线即直线 PA 与平面与平面
7、EAC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 2 3 3 (2018西安质检西安质检)如图, 四棱柱如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面的底面 ABCD 是菱形,是菱形, ACBDO, A1O底面底面 ABCD,AB2,AA13. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:平面证明:平面 A1CO平面平面 BB1D1D; (2)若若BAD60,求二面角,求二面角 BOB1C 的余弦值的余弦值 解:解:(1)证明:证明:A1O平面平面 ABCD,BD平面平面 ABCD. A1OBD. 四边形四边形 ABCD 是菱形,是菱形, COBD. A1OCOO, BD平面平面 A1C
8、O. BD平面平面 BB1D1D, 平面平面 A1CO平面平面 BB1D1D. (2)A1O平面平面 ABCD,COBD,OB,OC,OA1两两垂直,以两两垂直,以 O 为坐标原点,为坐标原点,OB ,的方向为,的方向为 x 轴,轴,y 轴,轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系OC OA1 AB2,AA13,BAD60, OBOD1,OAOC,3 OA1.AA2 1OA26 则则 O(0,0,0),B(1,0,0),C(0, , ,0),A(0,0),A1(0,0,),336 (1,0,0),(0, , ,),OB BB1 AA1 36 (1,
9、, ,),(0, , ,0)OB1 OB BB1 36OC 3 设平面设平面 OBB1的法向量为的法向量为 n(x1,y1,z1), 则则Error!即即Error! 令令 y1,得 n,得 n(0, , ,1)是平面是平面 OBB1的一个法向量的一个法向量22 设平面设平面 OCB1的法向量 m的法向量 m(x2,y2,z2), 则则Error!即即Error! 令令 z21,得 m,得 m(,0,1)为平面为平面 OCB1的一个法向量,的一个法向量,6 cosn,m,n,m, n nmm |n n|m m| 1 3 7 21 21 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由图可知二面角
10、由图可知二面角 BOB1C 是锐二面角,是锐二面角, 二面角二面角 BOB1C 的余弦值为的余弦值为. 21 21 4 (2018长春质检长春质检)如图, 在四棱锥如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面中, 底面 ABCD 为菱形,为菱形, PA平面平面 ABCD, E 为为 PD 的中点的中点 (1)证明:证明:PB平面平面 ACE; (2)设设 PA1,ABC60,三棱锥,三棱锥 EACD 的体积为,求二面角的体积为,求二面角 DAEC 的余弦值的余弦值 3 8 解:解:(1)证明:连接证明:连接 BD 交交 AC 于点于点 O,连接,连接 OE. 在在PBD 中,中,PEDE,BODO
11、,所以,所以 PBOE. 又又 PB平面平面 ACE,OE平面平面 ACE,所以,所以 PB平面平面 ACE. (2)由题易知由题易知 VPABCD2VPACD4VEACD, 3 2 设菱形设菱形 ABCD 的边长为的边长为 a, 则则 VPABCD S ABCDPA 1, 1 3 1 3(2 3 4 a2) 3 2 解得解得 a . 3 取取 BC 的中点为的中点为 M,连接,连接 AM,则,则 AMA D.以点以点 A 为坐标原点,分别以,为坐标原点,分别以,AM ,的方向为,的方向为 x 轴,轴,y 轴,轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,轴的正方向,建立如图所示的空间直角
12、坐标系,AD AP 则则 A(0,0,0),E,C, (0, , 3 2 , ,1 2) ( 3 2, , 3 2 , ,0) ,AE (0, , 3 2 , ,1 2) AC C ( 3 2, , 3 2 , ,0) 设设 n1(x,y,z)为平面为平面 AEC 的法向量,的法向量, 则则Error!即即Error! 取取 x1,则 n,则 n1(1,3)为平面为平面 AEC 的一个法向量的一个法向量3 又易知平面又易知平面 AED 的一个法向量为的一个法向量为 n2(1,0,0), 所以所以 cosnn1,n,n2, n n1n n2 |n n1|n n2| 1 13 9 13 13 由图
13、易知二面角由图易知二面角 DAEC 为锐二面角,为锐二面角, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以二面角所以二面角 DAEC 的余弦值为的余弦值为. 13 13 5.(2018郑州质检郑州质检)如图,在三棱锥如图,在三棱锥PABC中,平面中,平面PAB平面平面ABC,AB6,BC 2,AC2, D, E 分别为线段分别为线段 AB, BC 上的点,且上的点,且 AD2DB, CE2EB, PD36 AC. (1)求证:求证:PD平面平面 ABC; (2)若直线若直线 PA 与平面与平面 ABC 所成的角为所成的角为 45,求平面,求平面 PAC 与平面与平面 PDE 所成锐二面角的
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